조항현의 "사회물리학의 낯선 여행"

원자의 운동과 현상을 설명하고 예측하던 통계물리학은 인간 사회 현상과 사람들의 집합 행동을 설명하고 예측할 수 있을까? 핀란드 알토대학에서 사회물리학을 연구하는 조항현 박사가 물리학 속의 사회, 사회 속의 물리학의 이야기를 찬찬히 들려줍니다.

[연재] ‘리트윗 얼마나 퍼지나' 연쇄반응 물리모형 만들기

사회물리학의 낯선 여행 (3)

 

 

 

 

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연재 첫 글에서는 전체를 이루는 부분보다 그들 사이의 상호작용이 중요해지는 조건에서 나타나는 보편성에 대해 이야기했습니다. 두 번째 글에서는 그러한 보편성이 부분의 특성이나 상호작용 구조에 따라 여러 부류로 나뉜다는 보편성 부류에 대해 살펴보았습니다. 여기에서 보편성은 ‘상호작용에 의한 거시적인 특징’을 가리키는데 이 특징이 정량적으로는 임계지수로 나타납니다. 복잡한 현상을 이루는 수많은 요인 중 어떤 게 중요한지는 임계지수가 어떤 요인 때문에 변하는지를 살펴 알 수 있다고 했습니다. 이 모든 이야기가 사회현상을 이해하는 데 적용될 수 있는지에 대해 지금까지 많이 연구되어 왔고 앞으로도 과제로 남아 있습니다.

 

 

 

‘리트윗의 모형’ 만들기: 확률, 질서변수, 상전이...

 

다시 임계점에서 오늘 이야기를 시작합시다. 서로 다른 두 상태를 가르는 임계점에서는 한 곳의 작은 변화가 연쇄반응을 일으켜 시스템 전체에 영향을 끼칠 가능성이 현저하게 높아진다고 했습니다. 그럼 구체적으로 얼마나 어떻게 영향을 끼칠까요?

 

예를 들어 요즘 사람들이 많이 이용하는 인터넷 사회연결망 서비스 중 트위터(twitter.com)를 봅시다. 트위터에 대해 몰라도 이 글을 이해하는 데 지장이 없도록 간단히 설명하는 것으로 시작하겠습니다. 누군가 자신의 트위터 계정에 어떤 의견을 트윗(tweet)으로 올리면 이 계정을 구독하는 사람들(follower)이 그 트윗을 봅니다. 개중에 그 의견을 퍼뜨리고 싶은 사람들은 그 트윗을 리트윗(retweet)함으로써 역시 자신의 구독자들에게 그 트윗의 내용을 알려줄 수 있습니다. 이런 식으로 리트윗이 여러 번 이루어지면 많은 사람들이 그 의견을 접할 수 있습니다.

 

어떤 내용의 트윗이 어떤 조건에서 리트윗을 통해 잘 퍼지는지도 이미 연구되어 있습니다.1) 클릭 한두 번으로 쉽게 리트윗할 수 있지만 모든 트윗이 리트윗을 통해 널리 알려지지는 않습니다. 중요한 정보를 담고 있는지 아니면 재미가 있는지 뿐 아니라 내가 믿을만한 사람을 통해 알게 된 트윗인지 내 계정을 구독하는 사람들이 봤으면 좋겠다고 생각하는 트윗인지 리트윗하기에 적절한 때인지 등의 요인이 의식적으로 또는 은연중에 고려될 것입니다.

 

이 모든 요인을 고려하면서 리트윗을 통해 정보가 어떻게 확산되는지를 이해하면 제일 좋겠지만 일단은 ‘상호작용(리트윗)의 연쇄반응을 통한 확산’에만 초점을 맞춰봅시다. 어떤 트윗도 리트윗이 되거나 되지 않거나 둘 중 하나입니다. 이를 결정하는 모든 세부사항을 고려하기 힘들므로 단순히 확률적으로 둘 중 하나가 선택된다고 합시다. 그 확률은 모든 트윗에 대해 똑같고 또한 모든 이용자에 대해서도 똑같다고 단순하게 가정합니다.

 

이러한 과감한 가정이 때론 물리학자의 장점이 되지만 현실의 복잡성을 지나치게 무시한다는 비판을 받게 하기도 합니다. 저 나름대로 변호를 하자면 일단 가장 중요한 뼈대부터 제대로 이해하자는 것이며 이런 가정을 통해 단순화된 문제는 복잡한 현상에 대한 이해의 시작일 뿐이지 결코 전부가 아니라는 겁니다. 또한 앞글에서 ‘이징 모형’에 관해 썼듯이 매우 단순화된 문제조차 제대로 이해하기 힘든 경우도 많습니다. 일단 우리가 지금 다루려고 하는 ‘리트윗 모형’은 다음처럼 간단히 표현할 수 있습니다.

 

“각 트윗은 확률 p로 리트윗되거나 나머지 1-p의 확률로 리트윗되지 않는다.”

 

여기서 p는 0보다 크고 1보다 작은 값이며, 앞서 말한 다양한 요인과 그 가능성을 모두 뭉뚱그려서 나타낸 변수입니다. 제가 쓴 어떤 트윗이 리트윗의 연쇄작용을 통해 전세계의 트위터 이용자들에게 퍼지려면 p는 얼마나 큰 값이어야 할까요? 미리 짚어둘 점은 리트윗은 매번 확률로 결정되므로 p가 아무리 커도 1보다 작기만 하다면 제 트윗이 한 번도 리트윗되지 않고 묻혀버릴 가능성이 있다는 점입니다. 어쨌든 p가 작으면 저를 구독하는 사람들이 한두 번 리트윗해주고 끝날 것이고 p가 크다면 제 트윗이 꽤 많이 리트윗되어 많은 사람들에게 알려질 수 있습니다.

 

여기에서 “조금 퍼지는 경우”와 “널리 퍼지는 경우”는 양적인 정도의 차이일까요, 아니면 질적으로 다른 상태일까요? 실제 트위터에서 리트윗에 관한 통계적 분석이 나오기 전까지는 확실히 말할 수 없지만, 우리의 리트윗 모형에서는 상전이가 나타납니다. 그 경계가 되는 확률 p의 값을 임계점을 뜻하는 아래첨자 c를 붙여 pc로 나타내겠습니다. 물론 이 값을 구해볼 수 있습니다.

 

이를 위해 누가 누구의 계정을 구독하느냐 하는 연결망 구조를 살펴봐야 하는데 복잡한 모양새를 띨 것으로 예측할 수 있습니다. 수십만 명이 구독하는 유명한 트위터가 있기도 하고 갓 트위터를 시작하여 불과 몇 명만 구독하는 트위터도 많습니다. 서로서로 구독하는 경우도 있지만 그렇지 않은 경우도 상당히 많지요. 이 모든 측면을 모두 고려하기 힘드니 또다시 과감하게 각 계정을 구독하는 다른 계정의 수는 10이며 사회연결망에서 흔히 나타나는 끼리끼리 효과도 없다고 가정합니다.

 

 

 

임계점 확률 pc에서 ‘질적 변화’ 상전이가 일어난다

 

이제 앞서 던진 질문에 답을 해봅시다. 제가 어떤 내용을 트윗했고 저를 구독하는 10명이 그 트윗을 봅니다. 각 구독자는 p의 확률로 리트윗을 하므로 평균적으로 10×p 번 리트윗된다고 볼 수 있습니다. p가 1/10이라면 이 값은 1이 됩니다. 즉 10명 중 한 명이 제 트윗을 리트윗해주면 그 구독자의 계정을 구독하는 또 다른 10명의 트위터 이용자가 제 트윗을 볼 수 있습니다. 또 그 중 평균적으로 한 명은 리트윗을 해주겠죠. 이런 식으로 제 트윗은 무한히 리트윗되어 살아남을 수 있습니다. 하지만 제 트윗을 리트윗하지 않은 나머지 9명을 구독하는 사람들에게는 제 트윗이 보이지 않습니다. 제 트윗이 꽤 많은 사람들에게 보이지만 모두에게 알려지지는 않습니다.

 

전체 트위터 이용자 중 제 트윗을 본 이용자 수의 비율을 구하면 0보다는 크지만 여전히 0에 매우 가까운 값이 될 것입니다. 이징 모형의 ‘질서’와는 뜻이 다르지만 이 비율을 편의상 리트윗 모형의 질서변수로 부르겠습니다.

 

확률 p가 1/10보다 큰 경우, 만일 그 값이 2/10이라면 처음에는 2명이 그 다음에는 4명이 그 다음에는 8명이 리트윗을 하여 기하급수적으로 많은 사람들이 리트윗을 하겠죠. 역시 전체 이용자 중 제 트윗을 본 이용자 수의 비율을 구해보면 이제 0보다 큰 값을 얻을 수 있습니다. 반대로 p가 1/10보다 작다면 어쩌다 몇 번 정도 리트윗될 수 있지만 오래 가지는 못합니다. 전체 트위터 이용자 수가 매우 크다고 한다면 이 경우 실제로 제 트윗을 본 이용자 수의 비율은 0과 다름없습니다.

 

결론적으로 평균 리트윗 회수가 무한대이자 질서변수가 0보다 큰 널리 퍼지는 상태(초임계 상태라고도 합니다)와 평균 리트윗 회수가 유한하여 질서변수가 0인 조금 퍼지는 상태(버금임계 상태라고도 합니다)를 구분할 수 있습니다. 이 두 상태를 나누는 임계점의 pc는 1/10입니다. 임계점은 구독자수에 반비례하는데 직관적으로도 당연한 결과입니다. 구독자가 많아지면 그만큼 리트윗 회수의 기댓값이 커지므로 더 적은 확률로도 임계점을 넘어설 수 있기 때문입니다.

 

00socph_3 » p는 확률, Pc는 임계점 확률

 

여기서도 이용자 한 명만 보면 이 이용자가 다른 이용자의 트윗을 리트윗하는 회수는 확률 p에 비례하는 양적인 차이만 보여줍니다. 하지만 수많은 이용자가 리트윗이라는 상호작용을 함으로써 각 이용자에게는 나타나지 않는 질적인 변화, 즉 상전이가 나타납니다. 덧붙여 상전이에 말하는 ‘상태’란 거시적이고 집합적인 현상이므로 미시적이고 개별적인 대상에 대해서는 상전이를 논의할 수 없습니다. 물론 그 개별적인 대상이 더 작은 부분과 그들 사이의 상호작용으로 이루어져 있다면 통계물리의 방법론이 그에 맞게 적용될 수도 있습니다.

 

 

 

상호작용에 의한 보편성은 전체 분포를 봐야 알 수 있다

 

리트윗 모형의 질서변수는 한 트윗이 평균적으로 얼마나 많은 이용자에게 보이는지를 나타내는 값입니다. 그런데 어떤 트윗은 거의 리트윗되지 않지만 어떤 트윗은 꽤나 많은 사람들에게 리트윗되기도 합니다. 이렇게 현상을 이해하는 데 평균만으로는 부족하여 일반적으로 평균으로부터 얼마나 벗어나는지를 재는 ‘편차’를 함께 봅니다.

 

예를 들어, 정부기관이 조사한 바에 따르면 한국인 20-24세 남성의 평균키는 174cm이고 표준편차는 6cm 정도라고 합니다.2) 다시 말해서 그 집단의 대다수의 키는 168cm에서 180cm 사이입니다. 이렇게 평균과 표준편차라는 두 값만으로 한 집단에 대한 대체적인 그림이 잘 그려지는 경우가 많습니다. 또 다른 예로, 통계청에서 실시한 2010 가계금융조사에 관한 보도자료에 따르면 가구당 평균 순자산은 약 2억 3천만원이라고 합니다. 순자산 5분위별 자료로 표준편차를 구해보니 3억원쯤 됩니다.3) 이렇게 편차가 너무 커서 평균을 알아도 별 소용이 없는 경우는 예외적이라기보다는 일반적입니다. 실제로 그런 사례가 점점 더 많이 발견되고 있습니다. 그리고 이런 상황을 평균만 가지고 논의한다면 현상에 대한 이해가 불완전할 뿐 아니라 왜곡될 가능성도 높아집니다.

 

그래서 평균과 표준편차보다 더 완전한 정보를 담고 있는 전체적인 분포를 먼저 파악하는 것이 중요합니다.

 

다시 리트윗 모형으로 돌아가서 각 트윗이 몇 번 리트윗되는지 모두 세어봅시다. 물론 실제 트위터에서 정보를 모아 통계를 내보면 좋겠지만, 지금은 리트윗 모형을 컴퓨터로 시늉낸 결과를 보겠습니다. 즉 실제 트위터가 아닌 제 컴퓨터의 가상 공간에 트위터 이용자들이 앞에서 가정한대로 서로에게 연결되어 있고 누군가가 트윗을 올리면 이를 구독하는 사람 중에 확률 p로 그 트윗을 리트윗하도록 합니다. 모두 10만개의 트윗에 대해 각 트윗이 몇 번이나 리트윗되었는지 세어보면, 확률 p가 0.05인 경우 전혀 리트윗되지 않은 트윗은 59998개가 나왔습니다. s번 리트윗된 트윗의 개수를 n(s)로 나타낸다면 n(0)은 59998입니다. 한 번 리트윗된 트윗의 개수 즉 n(1)은 18723입니다. 이런 식으로 모든 s에 대해 n(s)를 구할 수 있습니다. 또한 p가 0.1인 경우(임계점)와 0.15인 경우에 대해서도 컴퓨터 시늉내기를 했습니다. 편의상 만일 어떤 트윗이 10000번 이상 리트윗되었다면 무한히 많이 리트윗되었다고 간주하겠습니다.

 

이제 분포 n(s)를 아래처럼 그림으로 나타내도록 하겠습니다. ‘유한한’ s는 0부터 10000 사이의 값을 갖지만 자세히 들여다보기 위해 일단 아래처럼 500까지만 그렸습니다. n(s)의 범위도 500까지만 잘랐습니다.

 

00socph3_11

 

우선 “널리 퍼지는 상태(p=0.15)”에서는 60%가 넘는 트윗이 ‘무한히’ 많이 리트윗되었습니다. 무한히 퍼진 트윗의 비율이 바로 질서변수에 해당합니다. 그리고 위 그림에는 이 무한히 퍼진 트윗에 관한 점은 빼고 리트윗 회수 s가 유한한 경우만 그렸습니다(파란 세모로 표시). 이들은 높은 확률임에도 운이 나빠서 수십 번 정도밖에 리트윗되지 않고 멈춘 경우입니다.

 

다음으로 “조금 퍼지는 상태(p=0.05)”에서는 90% 이상의 트윗이 겨우 3번 이하로 리트윗되었습니다(빨간 네모로 표시). 리트윗 회수 s의 최대값은 37인데 낮은 확률임에도 운이 좋은 경우입니다. 그런데 전체적인 모양이 널리 퍼지는 상태에서 유한한 s에 대해서만 그린 분포와 닮았습니다.

 

마지막으로 임계점(p=0.1)에서의 분포를 봅시다(녹색 동그라미로 표시). 여전히 대부분의 트윗은 그렇게 많이 리트윗되지 않지만 조금 퍼지는 상태보다는 분명히 더 많이 리트윗됩니다. 50번 이상 리트윗된 트윗의 개수는 전체의 10%를 넘습니다. 이를테면 평소에 스무 번에 한 번 꼴로(p=0.05) 리트윗을 하던 사람들이 어느날 리트윗 열풍이 불어 열 번에 한 번 꼴로(p=0.1) 리트윗 회수를 늘렸다고 합시다. 조금 퍼지는 상태와 비교해보면 p는 두 배가 되었지만 리트윗 회수의 기댓값은 엄청난 차이가 되었습니다. 그러다 리트윗 광풍이 불어 대략 일곱 번에 한 번 꼴로(p=0.15) 리트윗 회수가 늘어난다면 앞서 보았듯이 무한히 리트윗되는 트윗이 전체의 상당수로 늘어날 것입니다.

 

 

 

임계점에서 나타나는 독특한 분포 ‘거듭제곱(멱법칙) 분포’

 

이 세 경우 중 임계점(p=0.1)에서 나타나는 분포가 흔히 두꺼운 꼬리(heavy tail, fat tail)를 갖는 분포로 알려진 거듭제곱 분포(멱법칙 분포, power-law distribution)입니다. 위 그림에서 s가 대략 100보다 큰 부분을 분포의 ‘꼬리’라고 부른다면 이 꼬리가 다른 경우에 비해 두꺼워서 붙여진 이름입니다. 그리고 거듭제곱 분포라는 이름이 붙은 이유는 위에서 구한 분포 n(s)가 다음처럼 s의 거듭제곱 꼴로 표현되기 때문입니다.

 

00socph_33

 

여기서 3/2는 거듭제곱 지수(power-law exponent)로 불립니다. 즉 리트윗 회수가 4배 많아질수록 그런 트윗의 개수는 1/8배로 줄어든다는 뜻입니다.

 

어떤 분포가 거듭제곱 분포인지 눈으로 쉽게 확인하는 방법으로 이른바 로그-로그 그림(log-log plot)을 그려보면 됩니다. 위에서 컴퓨터 시늉내기로 얻은 n(s)를 이번에는 범위에 제한을 두지 않고 모두 그리되 각 축을 조금 다르게 하여 아래처럼 그렸습니다. 눈금을 보면 1과 10 사이의 거리가 10과 100사이의 거리와 같고 또한 1000과 10000 사이의 거리와도 같습니다. 거듭제곱 분포는 로그-로그로 그렸을 때 직선으로 보이며, 이때 직선의 기울기가 음수이면 양수로 바꾸어 거듭제곱 지수로 부르곤 합니다. 아래 그림에서 검은 직선의 기울기가 -3/2이므로 거듭제곱 지수는 3/2입니다. 이와 달리 다른 두 상태의 분포는 분명한 직선이 아닙니다.

 

00socph3_12

 

거듭제곱 분포를 나타낸 식은 지난 글들에서 소개한 물리량 사이의 눈금잡기(scaling) 관계식과 모양이 비슷합니다. 그래서 눈금잡기와 거듭제곱이라는 말이 종종 섞여 쓰입니다. 이렇게 두꺼운 꼬리가 달린 분포는 여러 가지가 있는데 그중에서도 통계물리학자들이 아마도 가장 관심을 갖고 연구하는 것이 거듭제곱 분포입니다. 물론 상전이와 임계현상 분야에서 많이 나타나는 중요한 특징이기 때문입니다.

 

무엇보다 거듭제곱 분포는 부분 사이의 상호작용 효과가 극명하게 드러나는 결과입니다. 임계점보다는 널리 퍼지는 상태야말로 상호작용 효과가 더 잘 드러나지 않느냐고 물을 수 있습니다. 그런 해석도 가능하지만, 여기서 이 분포를 통해 보려고 했던 건 질서변수로 나타난 평균보다는 그 주위의 편차라서 질서변수에 해당하는 무한히 퍼진 트윗을 제외한 후 비교하곤 합니다. 또한 일반적으로 거듭제곱 분포는 거듭제곱 지수가 3보다 작으면 표준편차가 무한히 커져서 평균에 대한 정보가 쓸모없어집니다. 편차를 불확실성으로 이해한다면 내 트윗이 얼마나 리트윗될지에 관한 불확실성이 임계점에서 가장 커진다고 말할 수 있습니다.

 

그러면 왜 거듭제곱 분포가 나타나는가? 왜 하필이면 여기서 거듭제곱 지수가 3/2인가? (우리의 리트윗 모형은 간단해서 컴퓨터로 돌려보지 않아도 3/2임을 계산할 수 있습니다.) 임계점에서 거듭제곱 분포가 나타나는데, 거듭제곱 분포가 발견되면 모두 임계현상으로 이해해도 되는가? 같은 재미있는(?) 문제들이 줄줄이 이어집니다. 이는 다음 기회에 더 자세히 살펴보겠습니다. 그리고 지금까지 살펴본 리트윗 모형은 사실 가지치기 과정(branching process)으로 알려진 모형에 ‘트위터’라는 살을 붙인 것에 지나지 않음을 밝혀둡니다.

 

 

 

‘상호작용의 연쇄반응’ 그림을 대강이나마 그릴 수 있다

 

가장 단순한 모형에 대한 이해를 바탕으로 지금까지 단순화하면서 무시했던 요인들을 하나씩 도입해볼 수 있습니다. 이를테면 계정마다 매우 다른 구독자 수를 반영한다든지 계정마다 리트윗하는 비율이 다르다든지 서로 친한 이용자들이 서로 구독을 하고 있다든지 자신을 구독하는 이용자는 매우 많은데 자신은 아주 소수의 계정만 구독한다든지 하는 요인들을 추가할 수 있습니다. 이럴 경우 한 곳에서 유입된 정보가 트위터의 연결망을 통해 어떻게 전파되는지, 여기에 구독자 수의 불균형이 어떻게 정보의 확산에 영향을 미치는지 등을 살펴볼 수도 있습니다. 종종 잘못된 정보가 몇몇 허브를 거쳐 널리 퍼지기도 하는데 그 잘못을 수정한 정보는 처음처럼 널리 퍼지지 않는 경우도 있습니다. 이런 것도 위의 리트윗 모형을 통해 복잡하지 않게 실험해볼 수 있습니다.

 

사실 처음부터 다양한 요인들을 고려한 모형을 연구해도 좋습니다. 하지만 만일 어떤 식으로든 ‘상호작용의 연쇄반응을 통한 확산’에 초점을 맞추고자 한다면 기본적인 이해가 밑바탕 되어야만 다양한 요인들 중 중요한 것과 그렇지 않은 것을 가려낼 수 있습니다. 가장 단순하고 뼈대가 되는 모형을 이해하지 못한 상태에서 이러저러한 요인들을 덧붙이다보면 더 혼란스러워질 수 있기 때문입니다. 당연한 것 같지만(아닌가요?) 저는 수없이 허우적대다가 뒤늦게야 알게 된 사실입니다. 여기서 마치겠습니다.

 

 

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