[책] '유한'에선 보이지 않는 그 무엇, '무한'

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무한으로 가는 안내서
존 배로 지음·전대호 옮김 | 해나무


존 배로는 책의 목표를 ‘무한이 있느냐 없느냐’를 따져보는 데에 맞추진 않았다. 책을 읽고나면 무한은 상대적인 개념으로 이해된다. 무한은 유한이 다 보여주지 못하는 무엇이며, 또는 유한의 장벽 때문에 보이지 않는 무엇이다. 그는 “무한의 등장은 당신이 진리를 향해 가는 도중에 막다른 골목에 도달했음을 알려주는 경고”라고 말한다. 뉴턴 물리학 너머에 있던 무한은 아인슈타인 물리학에서 유한의 세계에 포섭됐으나, 아인슈타인 물리학에선 또다른 무한의 도전에 직면한다.





름하여 ‘무한 호텔’에 손님 한 분 들어선다. 객실 수는 무한하지만 다 찼단다. 그런데도 지배인은 문제 없다며 호언장담한다. 1호실 손님을 2호실로, 2호실 손님을 3호실로… 계속 옮겨 1호실 방을 비우면 새 손님을 모실 수 있다. 이젠 무한히 많은 손님들이 들이닥친다. 지배인은 눈도 깜짝하지 않는다. 1호실 손님을 2호실로, 2호실 손님을 4호실로, 3호실 손님을 6호실로… 이렇게 홀수방 손님을 짝수방으로 옮기니 무한히 많은 홀수방들이 빈다. 이번엔 무한히 많은 곳들에서 무한히 많은 손님들이 몰려온다! 수학자 힐베르트가 지어냈다는 이상야릇한 무한의 이야기다.


존 배로 영국 케임브리지대 교수(수리과학)는 교양과학서 <무한으로 가는 안내서>에서 이런 무한 호텔을 소개하면서 ‘무한 수입을 올린 무한 호텔엔 무한 세금 폭탄이 날아왔지만 무한 수입에서 무한 세금을 빼도 무한이 남으니 이익은 무한했더라’는 농을 덧붙인다. 무한에 무한을 더하거나 빼도 무한이기 때문이다.


이 책은 누구에게나 호기심의 대상이 됐거나 될만한 ‘무한’을 다룬다. 우주엔 끝이 있을까, 끝 너머로 던진 돌은 어디로 갈까? 시간은 영원히 무한히 이어질까? 무한에 1을 더하면 무한보다 1이 더 많을까? 물질을 무한히 쪼갠다면 무엇이 남을까? 무한의 이야기와 역설은 널려 있다. 보통사람의 호기심에도, 또 수학·물리학자의 진지한 논문에서도 무한은 피해갈 수 없는 주제다. 존 배로는 인류 역사와 현대 과학에서 얘기되는 무한에 관한 수학, 물리학, 우주론, 철학, 신학과 공상소설의 이야기들을 책 한 권에다 읽기 좋게 모았다.


00infinity2 » 이미지 출처/ 해나무


아무래도 책의 중심은 수학과 물리학, 우주론이다. 무한의 개념을 금기했던 고대·중세 역사를 거쳐 19세기에 무한집합과 무한의 위계를 체계화했으나 학계에서 따돌림을 당하며 비극적 삶을 보내야 했던 수학자 칸토어의 이야기는 무한의 존재를 받아들이는 게 얼마나 어려운 일이었는지 보여준다. 우주를 둘러싸고 있다고 믿어졌던 ‘천구’를 걷어내고, 무한히 펼쳐진 별들의 우주를 상상하기 시작했던 16, 17세기 천문학자들의 고초는 또 어땠는가?


존 배로는 책의 목표를 ‘무한이 있느냐 없느냐’를 따져보는 데에 맞추진 않았다. 책을 읽고나면 무한은 상대적인 개념으로 이해된다. 무한은 유한이 다 보여주지 못하는 무엇이며, 또는 유한의 장벽 때문에 보이지 않는 무엇이다. 그래서 그는 “무한의 등장은 당신이 진리를 향해 가는 도중에 막다른 골목에 도달했음을 알려주는 경고”라고 말한다. 뉴턴 물리학 너머에 있던 무한은 아인슈타인 물리학에서 유한의 세계에 포섭됐으나, 다시 아인슈타인 물리학에선 또다른 무한의 도전에 직면한다. 무한한 물리량에서 시공간이 파열되고 중력법칙조차 타당성을 일어버려 충분히 설명할 수 없는 ‘특이점’은 그 중 하나다. 그는 끈이론이 주목받는 이유는 “이전의 이론들과 달리 무한의 문제를 멋지게 우회했기 때문”이라고 풀이한다.


내친 김에 무한의 상상을 확장해보자. 존 배로는 무한의 사고실험들을 여럿 소개한다. 예컨대 이런 식이다. 우리가 아는 우주는 ‘가시적인 우주’일 뿐이며 무한한 우주에 생명체가 존재할 확률이 0이 아니라면, 무한히 많은 생명체가 우주에 존재할 수 있다. 무한한 시간과 공간에 무한한 생명체들이 존재한다면, 거기엔 나와 같은 복사본들도 있을 것이다. 이런 사고실험도 있다. 무한한 우주에는 무한한 선행이나 무한한 악행이 있을 터인데, 내가 선행이나 악행 하나를 보탠다고 해서 무슨 의미가 있는가? 그는 설사 그렇더라도 현실세계는 “광속의 유한성”에 놓여 있기 때문에 무한한 복사본은 아무런 의미가 없음을 논증한다. 또 그렇기에 여전히 개별 도덕은 중요하고 나와 인류는 가치 있다는 ‘무한의 윤리학’을 제시한다.


책에선 무한의 터무니 없는 신비를 걷어차는 존 배로의 모습도 자주 볼 수 있다. 무한히 반사되는 무한 거울의 역설, 1m 거리를 가는 데에도 1/2m, 1/4m, 1/8m… 무한히 많은 단계의 거리를 거쳐야 하기에 1m에 도달할 수 없다는 제논의 역설, 유한 시간에 무한 작업을 하는 ‘무한 기계’의 사고실험들엔 여러 허점들이 드러난다. 지은이가 얘기하는 ‘무한’은 우리가 다 안다고 여겼던 지식의 유한함을 알려주는 “경고음”이면서, 우주와 물질의 본성을 이해하는 길에 나서게 하는 “안내자”이다.



[책갈피]

13

무한은 또한 지금 우리 곁에 살아 있는 주제이다. 물리학자들이 추구하는 ‘만물의 이론’의 방향은 일차적으로 무한에 대한 태도에 따라 결정된다. 무한의 등장은 당신이 진리를 향해 가는 도중에 막다른 골목에 도달했음을 알려주는 경고일 수 있다. 끈이론이 열렬한 환영을 받는 까닭은, 이전의 이론들과 달리 그 이론이 무한의 문제를 멋지게 우회했기 때문이다.



16-7
현대 과학을 폭넓게 조망하면, 무한과 관련한 기이한 문제들이 줄줄이 등장한다. 우주는 유한할까, 혹은 무한할까? 우주는 영원히 지속할까? 과거는 무한할까? 무한한 우주에서는 무슨 일이든 일어날 수 있을까? 컴퓨터로 풀어도 무한한 시간이 걸려야 풀리는 문제들이 있을까? 어떤 문제들이 그럴까?


많은 사람들은 무한(infinity)과 무계(boundlessness, 경계 없음)를 같은 것으로 생각한다. 이상하게 들릴 수도 있겠지만, 그 둘은 같지 않다. 당구공의 표면처럼 유한하면서 경계가 없는 것들이 있다. 파리가 당구공 위를 기어다닌다면, 끝에 도달함 없이 영원히 다닐 수 있다. 휘어진 공간들은 상식적인 공간과 다른 성질을 가진다. 그런데 무한하게 휘어진 공간은 어떤 성질을 가질까? 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 우주 공간이 휘어져 있음을 증명했다고 한다. 그 증명은 우주와 관련해서 우리에게 무엇을 얘기해줄까?


시간도 유한하면서 끝이 없을 수 있다. 우리는 대개 시간이 앞으로 곧장 뻗은 직선이라고 생각한다. 시간은 한 방향으로만 흐르는 것처럼 보인다. 모든 각각의 사건은 다른 사건보다 미래에 있거나 과거에 있다. 하지만 안타깝게도 우주는 그렇게 단순하지 않다. 일렬종대로 행진하는 군인들을 생각해보자. 각각의 군인은 누가 자신의 앞에 있고 누가 뒤에 있는지 말할 수 있다. 그러나 군인들이 원을 그리며 행진한다면, 각각의 군인은 임의의 다른 군인의 앞에 있고 또한 뒤에 있다. 순서는 더 이상 존재하지 않는다. 시간이 이런 식으로 원형이 된다면, 시간 여행이 가능해지고 온갖 괴상한 역설들이 발생할 것이다.



135
그러나 많은 질량이 작은 부피 속에 집중되어 있고, 물체들이 광속에 가까운 속도로 운동한다면, 공간과 시간의 굴곡은 무시할 수 없을 정도로 커진다. 더 나아가 밀도와 온도나 가속도 같은 물리적인 양이 무한해진다면, 더욱 극적인 일이 일어날 것이다. 즉 공간의 곡률이 무한해서 결과적으로 공간이 찢어질 것이다. 이처럼 어떤 물리적인 양이 무한해지는 극단적인 지점을 ‘특이점’이라고 한다.
우주에 그런 특이점이 존재할 수 있을까? 우리는 물리적 무한을 목격할 수 있을까?


137
이론에 따르면 이상적인 상황에서 발생해야 마땅한 다른 무한들도 현실에서는 일어나지 않는다. 앞서 제시한 평행한 두 거울을 생각해보자. 원리적으로는 당신이 두 거울 사이에 서면, 반사된 당신의 앞모습과 뒷모습이 무한히 많이 만들어져야 한다. 그러나 현실에서는 거울의 도금이 완벽하지 않고 공기가 완전히 투명하지 않아 빛이 거울 표면과 공기 속에서 점차 약해진다. 심지어 지적한 측면들에서 모든 것이 완벽하다 할지라도 -반사가 완벽하고 진공이 완벽하다 할지라도- 빛은 유한한 속도로 움직이므로 무한히 많은 반사성이 생기려면 무한한 시간이 걸릴 것이다.



137-8
무한의 문제에 대한 해법을 찾는 노력은 물리학의 발전 방향과 물리학의 성취를 판정하는 기준에 여러 모로 영향을 미쳤다.
결국 그 문제는 해결되었다기보다는 제거되었다. 계산을 거쳐 얻은 답을 유한한 부분과 무한한 부분으로 나누는 체계적인 방법이 확립된 것이다. 무한한 부분은 제거되고 관찰과 비교할 수 있는 유한한 부분만 남았다. ‘되틀맞춤(renormalisation)’이라 부르는 그 방법은 놀랄 만큼 정확한 결과를 산출했다. 그 결과들은 소수점 아래 열여섯 자리까지 관찰과 일치했다. 그것은 인간이 경험한 가장 정확한 예측이었다. 되틀맞춤의 성공은 무한의 문제가 사물을 바라보는 서툰 시각 때문에 발생하는 인위적인 산물임을 드러냈다.



138
1980년대 초 이후 끈이론은 우주의 가장 기본적인 요소들에 대한 우리의 생각을 바꾸어 물리적 무한을 제거할 수 있음을 보여주었다. 그것들은 가장 기본적인 물질 입자는 크기가 0인 ‘점’이고 공간 속을 움직일 때 선을 그린다는 생각에서 나온다. 끈이론은 가장 기본적인 물질 요소가 작은 에너지 고리이며 움직일 때 관 모양의 궤적을 그린다고 주장한다. 그 고리는 고무밴드처럼 장력을 지니고 있고, 그 장력은 주위 온도가 매우 높아지면 줄어들고 오늘날 우주의 에너지 수준으로 낮아지만 늘어난다. 따라서 에너지가 낮을 때는 장력에 의해 고리가 점점 더 축소되어 점처럼 된다. 따라서 자연의 기본입자가 점이라는 생각은 실제로 매우 흘륭한 근사일 수 있다. 그러나 에너지가 매우 높을 때는 그 생각이 타당하지 않다.



139
끈이론이 가장 기초적인 물질과 에너지에 관한 참된 이론인지 아닌지 우리는 아직 모른다. 그러나 그 이론이 발전하고 입자물리학자들이 수용한다는 사실에서 물리적 무한에 대한 입자물리학자들의 속마음을 읽어낼 수 있다. 입자물리학자들은 물리적 무한의 존재를 믿지 않는다! 유체 연구와 마찬가지로 기본입자에 관한 계산을 할 때 무한이 나타나면, 물리학자들은 이론에 결함이 있다고 판단한다. 무한은, 이론이 유용성을 잃은 근사라는 사실을 보여주는 신호로 간주된다. 물리학자들은 더 크고 좋은 이론은 항상 무한을 추방할 것이라고 믿는다.



157
사람들을 무한으로 이끈 최초의 질문들 중 하나는 존재하는 모든 것인 우주에 관한 질문이었다. 우주는 무한히 펼쳐져 있을까, 아니면 끝이 있을까? 지구에 대해서도 같은 질문이 제기되었다. 지구가 둥글다는 것을 추론해낸 시대에도 여전히 지구가 평평하다고 믿는 문명들이 있었다. 지구가 둥글다는 것이 -계속 항해해도 지구의 끝에서 떨어지지 않는다는 것이- 상식이 된 후에도 그 상식은 우리의 우주상에 전이되지 않았다. 우주 공간이 공의 표면과 유사하다고 생각할 방법은 없었다. 그러나 우리가 보게 되듯이, 오늘날 우리의 우주 이해는 더욱 이상야릇한 가능성들을 제시한다.



184
우리는 우주 전체의 유한한 부분만을 볼 수 있다
우주 전체가 얼마나 크든지 간에 우리는 우주의 유한한 부분에 관한 정보만을 얻을 수 있다. 빛의 속도가 유한하기 때문에 우주에 대한 우리의 경험은 항상 유한하다. 만일 우주의 크기가 무한하다면, 우주 전체에서 관찰 가능한 부분의 비율은 0일 것이다. 다시 말해 우주의 가시적인 부분이 아무리 크다 할지라도 그 부분은 우주 전체의 무한히 작은 부분에 불과할 것이다. 그러므로 우리가 보는 부분이 우주 전체를 대표한다는 검증할 수 없는 전제를 채택하지 않는 한, 우리는 항상 무한한 전체의 극히 작은 부분에 관한 정보만을 가지고 있음을 인정해야 한다.


188-9
우리는 우주가 유한한지 무한한지 결코 알 수 없다
인플레이션 이론의 예측대로 만일 우주가 공간적인 변이를 가질 수 있다면, 우리는 우주 전체가 유한한지 또는 무한한지 결코 알 수 없을 것이다. 우리의 거품처럼 큰 인플레이션을 겪은 거품들은 무제한 팽창과 대붕괴를 향한 수축을 가르는 경계선에 매우 근접해 있다. 우리 주변 우주의 밀도와 임계밀도 사이의 차이는 우주 속의 여러 구역들 간의 밀도 차이와 비슷할 수도 있다. 이는 우리가 전체적으로 밀도가 매우 높은 우주 속에 밀도가 낮은 부분에서 살고 있을지도 모른다는 것을 의미한다. 만일 그렇다면 우주는 결국 수축할 것이다. 우리는 무한하고 영원히 팽창하는 우주에 산다고 생각하겠지만, 그것은 터무니없는 착각일 것이다(그림 7-17_. 이것은 우주의 한 부분에서 사는 생명체가 어쩔 수 없이 직면하는 난감한 문제다.



337
무한은 또한 질량과 에너지의 궁극적인 구조와 관련한 가장 심층적인 자연의 비밀을 캐내려 노력하는 과정에서 우리가 그릇된 길로 나아가지 않게 도와준다. 과거 사람들은 무한이 혼란을 주는 악령이라고 여겼다. 그러나 우리는 무한이 옳은 길을 안내하는 든든한 길잡이라고 생각하게 되었다. 우리가 ‘만물의 이론’을 향해 가는 길에서 한 걸음만 벗어나도 무한은 경고음을 요란하게 울린다. 우리는 유한하게 규정된 단 하나의 길이 있기를 바란다. 그 길은 실험으로 도달할 수 없고, 관찰로 꿰뚫어볼 수 없는 곳에 도달할 것이다. 물질과 우주의 본성을 이해하려는 노력은 전적으로 무한의 안내에만 의지하게 될지도 모른다. 우리는 무한을 지금보다 더 잘 알아야 한다.


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오철우 한겨레신문사 과학담당 기자, 사이언스온 운영
1990년 한겨레신문사에 입사해 편집부, 사회부, 문화부, 생활과학부 등을 거쳤으며 주로 과학담당 기자로 일했다. <과학의 수사학>, <과학의 언어>, <온도계의 철학> 등을 번역했으며, <갈릴레오의 두 우주체제에 관한 대화>를 썼다.
이메일 : cheolwoo@hani.co.kr      

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