[책] 4차원, 11차원도 아니고 무려 196,883차원?

■ 잠깐 읽기:대칭: 자연의 패턴 속으로 떠나는 여행


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대칭
마커스 드 사토이 지음, 안기연 옮김 | 승산


영국 옥스퍼드대학의 수학 교수이며 여러 대중 강연과 저술로 이름을 알린 마커스 드 사토이 교수라는 분이 쓴 <대칭>이라는 책입니다. 책에서 지은이는 19만6883 차원에서나 볼 수 있다는 대칭의 대상물에 관한 얘기로 대칭의 수학을 풀어나갑니다. 4차원도 아니고, 11차원도 아니고, 무려 19만6883차원이라니! 힘겨운 독서가 시작되겠구나 하는 예감이 딱 들었지요.






리는 우리 사는 공간을 3차원으로 인식하며 잘 살고 있습니다. 아인슈타인의 '상대성이론' 이후에 큰 변화가 있었지요. 공간 3차원에다 시간 차원이 보태져 4차원의 개념이 등장했고, 이제는 4차원의 시공간 개념에도 많이 익숙해져 있지요. 하지만 수학과 물리학에서는 차원에 구속이 없나 봅니다. 끈이론은 11차원을 얘기하고, 수학자는 아무렇지도 않은 표정을 지으며 '무한차원'까지도 수학의 연구 대상이 된다고 말합니다. 대체 이게 뭡니까?  


4차원 이상의 얘기는 정말이지 난해합니다. 머릿속으로 그려보려야 그려볼 수 없는, 우리 경험세계 저편, 그 너머에 있는 상상과 관념의 세계처럼 이해되지요. 간혹 물리학자와 수학자를 만난 자라에서 여러 얘기를 나눌 때에, 저를 '대략난감' 하게 만드는 얘기 중에 하나가 바로 고차원입니다. 이럴 때엔 여러 비유와 은유를 동원해 제가 어설프게나마 이렇게저렇게 이해했다고 치고, '대략난감'의 상황을 수습하고서는 다른 얘기로 후딱 넘어가곤 하지요.  


최근에 수학에 관한 책 한 권을 ‘잠깐 독서’ 한 적이 있습니다. 영국 옥스퍼드대학의 수학 교수이며 대중 강연자와 저술가로 이름을 알린 마커스 드 사토이 교수라는 분이 쓴 <대칭 : 자연의 패턴 속으로 떠나는 여행>(안기연 옮김, 승산 펴냄)이라는 책입니다. 480쪽가량의 책입니다(승산은 왜 늘 어려운 책들만 펴내는 지 몰라요). 여기에서 지은이는 19만6883 차원에서나 볼 수 있다는 대칭의 대상물에 관한 얘기로 대칭의 수학을 풀어나갑니다. 4차원도 아니고, 11차원도 아니고, 무려 19만6883차원이라니! 또 힘겨운 독서가 시작되겠구나 하는 예감이 딱 들었지요. 역시나 쉽지 않은 책입니다. 수학에 어느 정도 익숙하고 수학의 매력을 아는 독자는 무척 흥미롭게 읽을 만한 책인 것 같습니다.  


이 책은 ‘대칭’을 탐구하는 수학자의 사유 여행을 다채롭게 그리고 있습니다. 대칭이  수학자한테 주목받는 이유는, 글쎄요, 대칭이라는 패턴이 자연에는 흔하게 나타나고 그렇기에 '패턴을 탐구하는' 수학자라면 누구나 그런 대칭의 패턴을 모두 다 샅샅이 찾아 분류하고 싶은 학문적 욕구를 품을 수 있겠고, 그 대칭의 끝을 내다보려는 호기심도 품을 만하기 때문이 아닐까 합니다.   


'차원' 얘기를 하다가 약간 샛길로 빠지게 됐습니다만, 대칭이라는 주제도 흥미로우니까 이 책에서 전하는 대칭의 놀라움에 관해 몇 가지 요약해보지요. 아주 적은 유전정보와 단백질 조각들로 이뤄진 바이러스가 도대체 어떤 3차원 모양을 지녔는지는 1950년대 중반까지도 수수께끼였다고 합니다. 물론 엑스(X)선 결정학이라는 기술 덕분에 바이러스의 2차원 평면 영상은 당시에도 알려져 있었다고 하네요. 하지만 흐릿한 평면 사진을 보고서 난생 처음 경험하는 대상의 3차원 구조를 정확히 확정하는 일은 쉽잖은 일이겠지요. 대칭을 연구하는 수학 지식의 도움도 받아 바이러스의 3차원 구조는 서서히 밝혀지고, 마침내 일부 바이러스는 대칭축을 지니는 정20면체의 공 모양 구조를 지니고 있음이 밝혀졌다고 합니다. 단백질 조각의 반복 패턴과 전체 구조의 대칭에 지은이는 놀라움을 표합니다.  


사토이 교수는 책에서 자연에 흔하게 발견되는 대칭의 패턴은 자연이 ‘에너지를 가장 적게 쓰는 구조’로 진화한 결과일 수 있다는 풀이를 제시합니다. 흥미롭군요. 벌들이 꽃의 특정한 대칭과 패턴을 좇아 꿀을 따는 것도, 비눗방울이 가장 대칭적인 구 형태를 띠는 것도, 수많은 동식물이 대칭을 좇아 진화한 것도, 인간의 마음, 예술, 기술이 대칭을 좋아하는 것도 그런 이유에서 비롯한다는 것이지요. “나를 포함한 수학자들에게, 자연 속 대칭은 하나의 언어이다. 그것은 동식물들이 우성 형질부터 영양 정보에 이르기까지 다량의 정보들을 전하는 하나의 방식이다“라는 제1장의 문구는 인상적이었습니다. 완벽한 대칭을 구현하는 데 여유 있게 쓸 에너지를 다른 곳에 낭비할 때에 대칭은 깨진다는 말도 덧붙이는군요.  


아무튼 이런 대칭은 자연에서 무수히 발견되고 있습니다. "패턴을 탐구하는” 수학자들 중에는 그런 대칭의 구조를 분류하는 분들도 계십니다. 그 분들 중에는 더 이상 특정한 대상으로 나뉘어질 수 없는 ‘불가분의(indivisible) 대칭적 대상’을 모두 모아 분류한 이른바 ‘대칭의 주기율표’를 만들고자 하는 분들도 계시답니다. 그런 ‘대칭의 주기율표’에서 가장 거대한 몸집을 지닌 대상은 무엇일까요?  


그것이 바로 사토이 교수가 이 책의 모티프로 삼고 있는, 19만6883 차원에서만 볼 수 있다는(결국 우리 경험세계에서는 볼 수 없고 수학적으로만 이해된다는) 대칭의 대상물이지요. 그 기괴한 존재에는 ‘몬스터’라는 이름이 붙여졌다고 합니다. 더 이상 쪼갤 수 없는, 가장 큰 대칭 구조, 그것은 '몬스터'였습니다. 하지만 그 정체는 여전히 기괴하고 신비한 것이죠.  


다시 수학자들이 말하는 차원의 개념에 관한 얘기로 돌아오지요. 제가 차원과 관련해 인상적으로 본 대목은 사토이 교수가 대칭과 몬스터 얘기를 하면서, 차원에 관해 수학적 의미를 나름대로 풀어 전하는 부분이었습니다. 우리가 오감으로는 경험할 수 없는, 수학이라는 제6감이 있어야만 볼 수 있다는 ‘고차원’은 실물 세계를 숫자로 변환할 줄 아는 인간의 수학적 능력 덕분에 가능하며, 또한 그런 능력 덕분에 인간의 지성은 3차원의 구속에서 벗어날 수 있게 됐다는 얘기인 것 같습니다. 거기에 수학의 힘이 있다는 말입니다. 그 부분을 아래에 조금 길게 인용해보겠습니다.  


"(대칭의 주기율표이자 대칭의 지도책인 <유한군의 아틀라스>를) 넘기고, 또 넘겨 아틀라스의 끝자락에 가서야 196,886 차원['196,883 차원'을 잘못 쓴 오자 같습니다] 의 거대한 이 창조물이 나온다. 250여 페이지에 달하는 아틀라스의 끝에 196,883 차원으로 들어가야 볼 수 있는 거대한 창조물이 존재했다. 물론, 우리의 시각으로는 이 대상을 결코 볼 수 없다.

 

지난날, 내가 가장 감탄했던 사실들 중 하나는 수학적 언어를 통해 세계를 다른 방식으로 ‘볼 수 있다’는 점이었다. 에셔의 시각적 역설들은 우리가 얼마나 실재를 잘못 인식할 수 있는지 보여준다. 물리적 공간을 수학적 언어로 바꿈으로써, 이러한 역설들은 쉽게 드러난다. 방정식들은 행성의 운행이나 경제 진화에 관한 예측들을 통해 앞으로 일어날 일들에 관한 정보를 준다. 수학은 나에게 학교에서 씨름했던 프랑스어나 러시아어보다 훨씬 강력한 힘을 지닌 언어였다. 수학은 물리적 눈으로는 절대 지각하지 못하지만 전율을 느낄 정도로 굉장한 사물들을 지성의 눈에 보여주었고, 그것이 이 언어가 가진 능력이었다. 수학적 언어는 우리를 3차원 세계를 넘어선 공간으로 인도한다.

 

우리는 사실 공간을 숫자로 변환하는 개념에 익숙하다. 지도책에서 어떤 도시의 위치를 찾아볼 때, 우리는 그 도시를 바둑판 위의 위치처럼 취급한다. 내가 방문한 케임브리지 대학교의 수학과는 위도 52.2N, 경도 01E에 있다. 같은 원리가 기하를 숫자로 바꾸는 수학에서 사용된다. 사각형의 네 귀퉁이들은 (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)과 같은 좌표로 표현된다. 3차원에서도 이와 유사하다. 또다른 좌표를 첨가하기만 하면 된다. 정육면체의 8개 귀퉁이들은 (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)에서 (1, 1, 1)까지 8가지의 세짝수들로 표현된다. 좌표 (1, 0, 1)은 동쪽으로 한 걸음, 위로 한 걸음을 이동함으로써 도달하는 5차원 상의 정육면체의 한 점을 암호화, 혹은 상징한다.


00mathD1 » <대칭>, 46쪽.  


일단 형태를 수의 언어로 새롭게 변환하면 4차원의 정육면체를 굳이 시각화할 필요 없이 그려낼 수 있다는 점에서 수학의 아름다움이 드러난다. 초입방체, 혹은 4차원 입방체로 알려진 이 4차원적 그림은 각각이 네 개의 좌표로 묘사된 16개의 꼭짓점 --(0, 0, 0, 0)에서 시작하여 (1, 1, 0, 0)과 (0, 1, 0, 0)을 거쳐 가장 먼 지점인 (1, 1, 1, 1)에 이르는-- 을 갖는다. 수들은 형태를 묘사하는 암호가 된다. 비록 초입방체를 ‘’볼’ 수는 없어도, 수학적 언어를 통해 그것을 솜씨 있게 다루고, 그 대칭들을 탐구할 수 있다. 그 수들은 나에게, 이렇게 불러도 좋다면, 여섯 번째 감각을 선사한다. 4차원 안에서도 볼 수 있는 지각 말이다.

 

고차원적 형태를 ‘보는’ 능력을 새로이 얻었어도 196,883 차원 공간의 대칭적 눈송이를 그려내는 콘웨이와 노튼['몬스터'를 발견한 수학자들입니다]의 놀라운 사고 실험은 상당히 난해하다. 이들은 자연스럽게 나타나는 대상이 아니었다. 이러한 대상을 구현하기 위해서는 수학적 언어에 의존해야 했다. 그것은 물리적 대상들이 암호화되어 수로 대체된 수학적 세계에 존재했다.”(45~47쪽)

   

"대학에서 훈련받는 동안 나는 공간을 수로 변환하는 일이 고차원 대상을 설명하는 가장 강력한 방식이라는 점을 알았다. 4차원 정육면체 --초입방체-- 를 예로 들어보자. 그것은 16개의 꼭짓점을 갖는다. 그 중 한 점은 좌표계의 (0, 0, 0, 0)으로 정의할 수 있다. 네 개의 모서리들은 이 점으로부터 퍼져 나온다. 그 모서리들은 이 점을 (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)로 정의되는 네 개의 다른 점과 연결된다. 심지어 나는 양 극점 (0, 0, 0, 0)과 (1, 1, 1, 1)을 잇는 축을 중심으로 이 초입방체를 회전시킬 수도 있다. 그 대칭은 (0, 0, 0, 0)에서부터 나오는 네 개의 모서리들을 한 바퀴 회전시키는 효과를 갖는다. 3차원 정육면체의 좌표들이었다면 독자들은 이러한 논의를 따라오는 데 아마도 별 무리가 없었을 것이다. 어떤 일이 일어나는지 ‘보기’ 위해 나는 종종 2차원의 ‘그림자’를 그려서 4차원에서 일어나는 일에 대한 감을 얻는다.


00mathD2 » <대칭>, 61쪽.  


수의 언어는 실제로는 절대 만들지 못할 대상의 기하를 다루는 방법을 알려준다. 전통적인 3차원 상이 존재하지 않기 때문에 조금 어려울지도 모르지만, 그렇다고 그 대상을 다루는 일이 전혀 불가능한 일은 아닐 것이다. 예를 들어 위에서 설명한 초입방체의 회전을 네 번 반복하면 원래의 위치로 돌아오리라는 사실을 ‘알’ 수 있다. 이러한 회전은 실제로 정사각형의 회전과 똑같아 보인다. 따라서 나는 이 초입방체의 대칭들이 삼각형의 대칭들로 만들어지지 않았음을 안다.”(60쪽)


그러니까 고차원은 ‘앎’이라는 눈을 통해 볼 수 있는 장면이지, 우리의 눈으로 볼 수 있는 장면은 아니라는 얘기일 터입니다(본 적 없으니 상상도 못하겠지요). 수의 언어를 구사하는 ‘앎’ 자체가 경험세계 너머의 실재를 들여다보는 ‘눈’처럼 이해됩니다. 그러기에 고차원을 경험세계에 관한 지식과 경험만으로 이해하려고 하는 것은, 수학의 언어와 일상의 언어 사이에 적절한 번역 행위가 없을 때에는 불가능하다 하겠습니다. 고차원에 관한 얘기는 고차원의 개념을 낳은 수학적 언어로 가장 정확하게 표현될 수 있으며, 경험세계의 지식과 경험만으로 얘기할 때 부정확하고 왜곡될 수 있다는 한계를 인식해야 하겠지요. 달리 말하면 수학의 언어를 구사하는 이들은 경험세계에서 볼 수 없는 '수학적 실재'를 볼 수 있는 즐거움을 누리고 있다는 얘기이겠지요.00onetwo


이 책을 '잠깐 독서' 하고서 글을 쓰는 동안에, 예전에 잠시 읽었던 옛소련 출신 미국 핵물리학자 조지 가모프의 책 하나가 떠올랐습니다(가모프는 우리가 요즘 말하는 우주대폭발, 즉 빅뱅이론의 기초를 닦은 과학자들 중 핵심 인물입니다. 냉전시대에 매카시 열풍이 불던 때에 옛소련 출신의 망명 과학자라는 딱지가 붙어 풍족한 연구 기회를 갖지 못했던 분이지요. 그 때문인지 그는 베스트셀러 대중서적도 많이 썼습니다). 1947년에 1판 인쇄를 펴낸 <일, 이, 삼... 무한(One, Two, Three... Infinity)>라는 책입니다. 집 안 책장에 꽂아두고서 잘 읽지도 않았던 책을 꺼내 펼치니 몇 대목이 눈에 들어옵니다. 그곳에서도 '차원'을 설명하려고 애쓰는 지은이의 모습이 나타납니다. 당시에는 여전히 4차원이라는 개념 자체가 너무 생소했기 때문인지, 가모프는 일반 독자들한테 4차원을 우리가 어떻게 실재라고 합리적으로 생각할 수 있는지 설명하고 있습니다.


가모프는 시도 쓰고 작곡도 잘 하지요. 그래서 그가 쓴 과학 책에는 시도 등장하고 악보도 등장합니다. 또 그림도 잘 그렸습니다. 그래서 자신이 쓴 책에 나오는 삽화들은 대부분 자신이 직접 그렸지요. 아래는 그가 4차원의 개념을 설명하는 대목에서 그린 그림 하나입니다. 역시 가모프가 직접 그렸지요.


00D2 » (1974년 판본), 68쪽.


3차원의 지구는 평면의 사진(그림자)은 2차원에 투영되지요. 그는 이런 상상을 요구하기도 합니다. 우리가 평면에 산다면? 평면에 비친 지구는 평면의 영상처럼 인식되겠지요. 그러나 실재의 현실에서 지구는 3차원으로 감각되지요. 그렇다면 우리가 감각하는 3차원이 4차원의 투영이라고 봐서는 안 될 이유는 없겠지요. 이런 겁니다. 다른 그림을 보지요. 가모프의 삽화입니다.  


00D1 » (1974년 판본), 65쪽.


검은색으로 칠해진 평면의 사람들은 투영된 대상을 2차원으로 인식할 겁니다. 그들은 2차원에 사는 사람들이니까요. 하지만 불빛을 비치는 사람이 보기에는 3차원의 실물이 2차원 평면에 투영돼 2차원에 모사되었을 뿐이겠지요. 자, 그러면 불빛을 비치는 사람한테는 3차원이 인식되지만 2차원만을 감각하는 검은색의 사람들은 인식할 수 없겠지요. 가모프는 이런 유비(analogy)로 일반 대중한테 선, 면, 입체를 넘어서는 4차원의 세계를 이해하도록 설명했습니다.  


"유비(analogy)의 방식으로, 우리는 이제 이렇게 말할 수 있다. 일부분을 포기하면서 4차원 물체를 3차원 공간에 '꾸겨넣을(squeezing)' 수는 없지만, 3차원의 우리 공간에 나타나는 여러 4차원 형상의 그림자(projections)들에 관해 이야기할 수 있다고. 그러나 3차원 물체의 평면 그림자가 2차원, 즉 평면 형상을 띠듯이, 4차원의 초물체(superbodies)는 우리 일상 공간에 그림자로 투영되는 공간-형상(space-figures)으로 재현될 뿐이라는 점은 기억해두어야 한다."(66쪽)

 

이런 말들을 찬찬히 되새기면, 수학자 사토이나 물리학자 가모프나 결국에는 같은 얘기를 하고 있는 듯합니다. 수학의 언어로 사유되며 그 실재를 맛볼 수 있는 고차원의 세계, 그것은 유비나 비유에 의지해야만 그나마 그 흐릿하게  우리가 이해할 수 있을 것입니다. 물리적인 일상의 경험세계에서 고차원의 비유를 찾으려는 일은 역시 어렵고, 아주 정확하게 말하면, 너무도 아쉽지만 가능하지 않은 일 같다는 생각이 자꾸 듭니다.
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오철우 한겨레신문사 과학담당 기자, 사이언스온 운영
1990년 한겨레신문사에 입사해 편집부, 사회부, 문화부, 생활과학부 등을 거쳤으며 주로 과학담당 기자로 일했다. <과학의 수사학>, <과학의 언어>, <온도계의 철학> 등을 번역했으며, <갈릴레오의 두 우주체제에 관한 대화>를 썼다.
이메일 : cheolwoo@hani.co.kr      

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