이철희의 "피타고라스 주제에 의한 변주"

수학은 인류의 지식이자 문화 자산이다. 고대 이래로 수학은 자연에 대한 이해를 넓히고 삶의 질을 개선하는 데 기여해왔다. 수학자의 열정, 호기심, 상상력이 어떻게 수학의 정원을 가꾸어 왔는지, 디지털 시대를 맞아 수학의 활약상은 또 얼마나 다양해지고 있는지에 관한 이야기를 독자들과 나눈다.

[연재] 사인·코사인에선 소리가 난다, 삐이..뚜뚜..따르릉

피타고라스 주제에 의한 변주 (2)



circularmotion.gif » 원운동과 단진동. (그림 설명은 이 글의 중간 부분에 있다)



텔레비전 방송은 애국가로 시작해서 애국가로 끝난다. 하지만 애국가 전에 그리고 애국가 이후에도 나오는 것이 있으니, 여러 가지 색으로 알록달록한 화면조정과 '삐이' 하는 소리가 바로 그것이다. 이 때 이 소리가 귀를 즐겁게 하는 아름다운 소리는 아닐 것이다. 하지만 이 소리의 본질을 제대로 이해하지 못하는 사람은 결코 아름다운 소리의 본질도 이해할 수 없다. '삐이' 소리의 정체를 이해하고 싶은 사람은 삼각함수를 알아야만 한다. 이 글의 마지막 부분에서 이 '삐이' 소리와 삼각함수의 깊은 관계에 대하여 알 수 있을 것이다.

 

00tv » 그림1. 텔레비전의 화면조정 화면. 출처/ wikipedia.org

 

 


중·고교 시절의 삼각비와 삼각함수

 

삼각함수는 중·고등학교 수학 교과서에서 매우 중요한 장의 하나이다. 중학교 수학에서는 삼각비라는 이름으로, 고등학교 수학에서는 삼각함수라는 또 다른 이름으로 등장한다. 여기에서 질문 하나가 자연스럽게 생겨난다. 삼각비와 삼각함수의 차이는 무엇일까? 왜 학교에선 삼각비를 가르치고도 삼각함수를 또 한 번 더 가르쳐야 했을까? 중학생이 고등학생이 되었을 때 마주할 수 있는 이 질문은 수학의 역사적 맥락을 크게 강조하지 않는 우리의 수학 교실에서는 별로 중요하게 취급되지는 않는 성격의 문제일 것이다.

 

지난 글("하늘과 땅의 수학 -삼각함수 이야기 1")에서는 지금까지 별의 움직임을 이해하기 위해 탄생한 삼각비가 중세 이슬람 세계를 거치며 크게 발전하고, 15세기에 이르러 삼각법이 완성되던 순간까지 살펴보았다. 이후에 삼각함수의 역사에서는 삼각비가 삼각형에서 독립하여 주기함수로서의 삼각함수로 새롭게 이해되기 시작했으며, 푸리에 해석이 탄생하고 푸리에 해석이 군론과 결합하는 등의 큰 사건들이 일어났다. 이번 글에서 주로 다룰 '삼각비에서 삼각함수로 가는 과정'은 이런 긴 역사에서도 매우 중요한 도약의 순간에 해당한다.

 

지난 글과 이번 글에서는 '삼각비'와 '삼각법',  '삼각함수'와 '삼각함수론'을 약간 구분해서 사용할 것인데, 삼각비는 삼각형을 통하여 정의되는 개념을 말하고, 삼각법은 삼각형의 변의 길이와 각도에 대한 이론을 칭한다. 아래에서 자세히 설명하겠지만, 삼각함수는 삼각비로부터 확장되어 주기성을 갖는 함수를 말하며, 삼각함수론은 삼각법과 대비되어 이들 확장된 함수에 대한 미적분학까지 포함하는 이론이라는 뜻으로 사용할 것이다. 미리 강조하자면 여기서 핵심적인 단어는 '주기성'이다.

 

 

 

삼각비의 확장

 

삼각비는 직각삼각형의 변의 길이의 비율로 정의되었지만, 중심이 (0, 0)이고 반지름의 길이가 1인 원('단위원'이라고도 한다)을 이용하여 이를 다시 생각해 보자. 빗변의 길이가 1인 삼각형을 삼각형의 한 점이 원점에 오도록 두면, θ에 대한 코사인과 사인의 값은 점 P의 x-좌표와 y-좌표와 같아지게 된다.

 

00fig2_2 » 그림2. 단위원 위의 점의 좌표를 통한 사인과 코사인의 재해석

 

이 관찰(그림2)를 활용하면, 삼각비를 더 큰 각도에 대해서도 확장할 수 있게 된다. 삼각비는 직각삼각형 한 점의 각도에 해당하는 값으로 주어지므로, 90도보다 큰 각도에 대하여 삼각비를 말하는 것은 말이 되지 않는다. 가령 120도에 해당하는 사인과 코사인의 값은 무엇일까 하고 묻는다면, 삼각비나 직각삼각형을 이용해서는 그에 대한 적절한 답을 할 수가 없다. 그러나 사인과 코사인을 점의 좌표로 이해한다면, 그것이 가능해진다. 사인과 코사인을 직각삼각형에서 생각할 게 아니라, 주어진 각에 해당하는 원 위의 점 P의 좌표로 이해한다면, x좌표로부터 cos 120°=-1/2, y좌표로부터 sin 120°=√3/2라고 말할 수 있다. 삼각비의 경우에는 사인과 코사인이 음수가 되는 것이 말이 되지 않지만, '좌표'가 음수가 되는 것은 아무런 문제가 되지 않는다. 사인의 값과 코사인의 값이 음수가 될 수도 있다는 사실은 직각삼각형에 익숙한 사람들에게는 매우 낯설게 느껴지겠지만, 점차 그 가치를 알 수 있을 것이다.

 

00fig2_3 » 그림3. 좌표를 통한 삼각비의 확장. cos120° = -1/2, sin120° = √3/2

 

그렇다면 sin840°와 같은 것은 어떨까? 물론 한 각의 크기가 840도인 삼각형은 없다. 그렇더라도 사인과 코사인을 좌표로 이해한다면, sin840° 값이 무엇인지도 말할 수 있다.  위의 그림3에서 점 P의 좌표 (x, y)는 (-1/2, √3/2)로 주어지며, θ = 120°가 된다. 이 점을 원 위에서 시계 방향으로  360° 회전시키면 여전히 같은 점을 얻게 되겠지만, 각도는 360° + 120° = 480°라고 말할 수 있다. 여기서 이 점을 다시 한번 원 위에서 시계 방향으로 360° 회전시키면, 각도는 360° + 480° = 840°이 된다. 그렇기 때문에 위에서 말했던 840도에 해당하는 사인값은 점 P의 y좌표인 sin 840°=sin 120°=√3/2, 코사인 값은 점 P의 x좌표인 cos 840°=cos 120°=-1/2가 되는 것이다.120도에 해당하는 점을 시계방향 또는 반시계방향으로 360도 회전시킨 후에 얻어지는 값들인 -600도, -240도, 120도, 480도, 840도 역시 모두 한 점 P에 해당하는 각도가 되는데, 이들 모두 같은 사인과 코사인의 값을 갖게 된다.

 

 

 

주기함수

 

360도만큼의 회전은 모든 점들을 원래 위치로 돌아오게 한다는 사실 덕분에 코사인과 사인을 새롭게 이해할 수 있는데, 그래서 cos °+360 °) = cos θ°, sin °+360 °) = sin θ°는 자연스럽게 성립한다. 그런데 각의 단위로 360도를 사용해야 할 필연적인 이유는 없다. 이것은 고대로부터의 관습일 뿐이기 때문이다. 삼각함수를 공부할 때에 더 유용한 각의 단위는 라디안이라 불리는데 360도는 '2π라디안'만큼에 해당한다. 이는 어떤 길이를 몇 마일이라고 말하는 것과 몇 킬로미터라고 말하는 것에는 본질적 차이가 없는 것과 마찬가지이다. 예를 들자면, -600도, -240도, 120도, 480도, 840도는 각각 -10π/3, -4π/3, 2π/3, 8π/3, 14π/3 라디안에 해당한다. 그렇게 하여 어떤 각  θ(라디안)에 대하여, 그림4처럼 얻어지는 점P(x, y)를 찾아, cosθ는 점 P의 x좌표의 값으로, sinθ는 점 P의 y좌표의 값으로 정의한다. 그리고 360도 즉, 2π를 주기로 갖는 함수가 된다. 즉, cos +2π) = cos θ과 sin (θ+2π) = sin θ이 성립하게 된다.

 

00fig2_4 » 그림4. 사인함수와 코사인함수의 정의. 출처/ wikipedia.org


요약하자면, 삼각비를 확장하여 삼각함수를 새롭게 정의할 때 삼각비와 삼각함수의 중요한 차이는 (1) 삼각비가 0도와 90도 사이의 각도에 대하여 정의되는 데에 비하여 삼각함수는 모든 수에 대하여 정의되며, (2) 삼각함수는 2π를 주기로 갖는다는 점이다. 이 때 얻어지는 사인함수의 그래프는 다음과 같다. (그림5)

 

00fig2_5 » 그림5. 사인함수의 그래프. 2π를 주기로 갖는다.

 

그리하여 사인함수는 모든 수에 대하여 정의된 함수이며 2π를 주기로 갖는 주기함수가 된다. 이 과정에는 별다른 논리적인 문제가 없다. 그러나 여전히 의문점이 남는다. 도대체 왜 -600도, -240도, 120도, 480도처럼, 삼각형에 대해 생각할 때에는 의미 없는 괴상한 각도에 대해서도 사인의 값과 코사인의 값을 생각할 필요가 있는 것일까? 16세기에 이르러 완성된 삼각법에서 직각삼각형의 변의 길이의 비율로서 이해되던 삼각비는 이제 18세기 초중반을 지나며 주기함수인 삼각함수로 새롭게 이해되고 태어난다. 도대체 왜 이러한 변화가 일어났던 것일까?

 

이 의문점에 답하기 위해서는 16세기와 18세기까지 일어났던 일들을 살펴 보아야 한다. 이 시기는 코페르니쿠스(1473~1543)와 갈릴레오(1564~1642) 등이 등장한 천문학상의 혁명이 일어난 때였고, 데카르트(1596~1650)의 해석기하학이 등장하고, 뉴턴(1643~1727)과 라이프니츠(1646~1716)에 의해 미적분학이 탄생하였으며 역학이 빠르게 발전한 시기였다. 특별히 삼각비에서 삼각함수로의 도약을 이해하려면, 이 시기 과학에서의 중요한 주제였던 '진동'에 대한 연구를 살펴볼 필요가 있다.

 

 

 

진동 현상과 진자에 대한 연구

 

이 시기에 사람들은 용수철에 매달린 물체의 운동을 이해하려 하였고, 주기적으로 움직이는 진자의 운동에 관심을 갖기 시작했다. 이러한 연구 결과들은 시계의 탄생, 표준 도량형의 성립 등의 사건과 긴밀히 연관되는데, '자연의 수량화'라는 전에 없는 큰 변화의 기초가 이 시기에 놓여졌다. 진동에 대한 연구는 여기에서 중요한 역할을 했다.진동의 친숙한 예로는, 그네와 같은 진자의 움직임을 들 수 있는데, 진동에서 가장 핵심적인 것은 그 운동이 주기적으로 반복된다는 특징을 지닌다는 점이다. 갈릴레오가 성당의 천장에 걸린 등을 바라보다가 진자의 등시성, 즉 진폭은 달라도 진자의 왕복 시간은 일정하다는 것을 깨달았다는 일화는 (근거는 불확실하지만) 널리 알려진 이야기이다. (엄밀히 말한다면, 진자의 등시성은 참이 아니며 근사적으로만 옳다.) 호이겐스(1629~1695)는 물체가 매달려 진동하는 진자의 길이 l 과 그 주기 T 의 수학적인 관계식 007을 알고 있었다. 여기서 g 는 중력가속도로 대략 9.8m/s2 정도의 크기를 지닌다.

 

pendulum.gif » 그림6. 진자의 운동과 등시성 - 진폭은 달라도 길이가 같은 진자의 주기는 일정하다.

 

오늘날의 눈으로 볼 때는 진자에 대한 연구가 사소해 보일 수 있지만, 진자의 운동에 대한 연구는 여러 중요한 결과물들을 가져다 주었다. 그 중 하나는 진자가 시계 제작에 이용되었다는 것이다. 최초의 진자 시계는 1657년 호이겐스에 의해 탄생했다. 물론 이후에 기술적으로 엄청난 변화들이 생겨났지만, 이렇게 진자의 운동에 기반해 제작된 시계는 1930년대가 되기 전까지 가장 정확한 시계로 남아 있었다. 또한 진자의 주기가 진자의 길이와 중력 가속도에 의해 달라진다는 사실은 진자의 주기를 통해, 각 지역마다 중력 가속도가 달라진다는 사실을 알 수 있게 해준다. 이로 인하여, 지구가 완벽한 구형이 아니라는 사실을 정량적으로 탐색하는 기초가 놓여졌다.

 

우리가 길이의 단위로 사용하는 '미터(m)'의 역사를 얘기하는 데에는 따로 책 한 권이 필요하겠지만, 여기에서는 미터의 역사에서 등장하는 진자의 역할만을 짧게 살펴보자. 위에 써놓은 진자의 길이 l과 그 주기 T와의 공식을 사용해 보면, 길이가 1m인 진자의 주기는 거의 2초라는 계산을 얻을 수 있다 (이 때, 주기는 한 지점에서 출발하여 돌아올 때까지 걸리는 시간, 즉 한 쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 갔다가 다시 제 위치로 돌아올 때까지 걸리는 시간을 말한다). 직접 계산기를 써서 g 는 9.8m/s2 로 두고서 위의 공식을 사용해 보라. 이는 길이 1m의 진자가 한 쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 움직이는 시간이 대략 1초임을 의미하는데, 이런 값이 얻어지는 것은 우연이 아니다. 1초라는 시간의 단위가 하루를 일정하게 나눈 결과로 얻어진 단위였다면, 1m는 17세기 후반에 진자 운동에 대한 이해에 기반하여 제안된 새로운 단위였던 것이다. 오늘날까지도 계속 진행 중인 도량형의 표준화에서 진자는 이렇게 시계 제작, 미터의 기준 제안 등에 밀접하게 관련이 있다.

 

 

 

탄성체와 소리에 대한 연구

 

진자 이외에도 진동과 긴밀하게 연관된 주제로는 탄성을 갖는 물체/물질에 대한 연구가 있다. 어떤 물체는 힘을 가하면 변형이 일어나고, 원래 상태로 돌아오려는 성질, 즉 탄성을 가진다. 이를 탄성체라 하는데, 탄성체에 변형을 가하면 진동 현상을 쉽게 관찰할 수 있다(그림7). 사람들은 종종 '찍어누르면 반발한다'라는 표현을 사용하는데, 이 표현을 더 다듬어 '찍어누른 만큼 반발한다'라 한다면 이는 탄성에 대한 후크의 법칙을 말하는 셈이다. 17세기 로버트 후크(1635~1703)는 탄성에 대한 연구에서 용수철이 늘어나거나 수축했을 때의 복원력이 변화된 길이에 비례한다는 것을 밝혀냈다. 이 원리를 이용한 대표적인 도구가 용수철 저울이라 할 수 있다. 용수철이 늘어나는 길이와 물체의 무게가 정확한 비례 관계에 있지 않다면, 용수철 눈금의 저울은 일정한 간격으로 만들어 질 수 없을 것이다.

 

shm.gif » 그림7. 용수철에 의한 진동 - 탄성은 진동을 일으킨다.

 

탄성을 생각할 때 꼭 용수철과 같은 물체를 생각할 필요는 없다. 공기 역시 탄성을 지닌다. 공기의 탄성 때문에 물체의 진동은 공기의 진동을 유발하는데, 소리의 근원은 바로 이 공기의 탄성에 의한 떨림 현상에 있다. 물체의 진동이 공기를 진동시키고 공기를 통해 이 공기의 진동에 의한 압력의 변화가 고막을 떨게 하여 인간은 소리를 인지한다. 우리가 인지하는 음의 높이(음의 높이란 음의 크기가 아니라 도, 레, 미 같은 음의 차이에 해당하는 개념이다)는 다름이 아니라 이 때의 진동이 얼마나 빠른 것이냐에 달려 있다. 진동하는 현을 이해하는 문제도 역시 이 시기의 중요한 연구 주제였는데, 이 역시 진동, 탄성, 소리를 모두 아우르는 것이다.

 

 

 

미분방정식

 

17세기와 18세기를 지나며 진자나 용수철과 같은 물체의 반복적인 움직임을 시간의 함수로 정확히 풀어내기 위한 지식은 하나하나 쌓여가고 있었다. 역학과 미적분학이 발전하면서 '미분방정식'이라 불리는 수학의 분야가 발전하기 시작했는데, 미분방정식이란 자연 현상을 기술하는 함수에 의해 성립하는 방정식을 미적분학을 통해 표현한 것으로, 수학이 자연을 기술하고 그 이해에 기여하는 중요한 분야의 하나이다. 역학 문제가 가져다 준 도전들은 미분방정식의 발전을 이끌었다.

 

진자의 운동이나, 용수철에 매달린 물체의 운동은 역학 교과서에서 '조화진동자'라는 이름으로 다루어지는 것으로, 그들의 운동을 이해하기 위해 필요한 미분방정식은 수학적으로 차이가 없다. 용수철에서 그런 것과 같은 조화진동을 이해하려면,  0222와 같은 형태로 주어지는 미분방정식을 풀어야 하는데, 이를 말로 풀면 두 번 미분해서 자신의 상수배가 되는 함수를 찾는 문제가 된다. 답을 먼저 말하면 이러한 미분방정식을 만족시키는  함수가 바로 사인과 코사인이다.

 

그러나 미분방정식을 모르는 사람에게도 용수철의 진동을 정확하게 말할 수 있는 방법이 있다. 놀라운 것은 용수철에 의한 운동을 원을 따라서 일정한 속력으로 움직이는 물체의 그림자로 이해할 수 있다는 사실이다.(그림8) 위에서 사인과 코사인을 원의 x, y 좌표를 이용해 정의했는데, 원을 따라 일정한 속력으로 움직이는 물체의 운동을 수학적으로 표현하기 위해서는 사인과 코사인이 필요하게 된다. 그리고 진동을 원운동의 그림자로 바라보면, 진동을 표현하는 올바른 언어가 삼각함수라는 사실을 깨달을 수 있다. 진동이라는 눈에 보이는 현상의 배후에서 원운동을 발견할 때, 우리는 진동의 매우 본질적인 부분을 이해할 수 있게 되는 것이다.

 

circularmotion.gif » 그림8. 원운동과 단진동. 용수철의 진동은 원운동의 그림자이다.

shm_and_wave.gif » 그림9. 단진동과 사인함수의 주기성. 시간에 대한 용수철의 위치 변화는 주기적으로 반복된다.


 

 

오일러의 삼각함수론

 

시간에 대한 용수철의 위치 변화를 나타내면, 주기적으로 반복되는 형태의 그래프를 얻을 수 있다(그림9). 이를 이해하게 되면, 진동에서 관찰되는 주기 운동을 기술할 필요가 생기면서, 삼각비는 삼각형에서 해방되어 주기성을 갖는 삼각함수로 나아갈 수 있었다. 그러나 이를 깨닫는 과정이 즉각적인 것은 아니었다. 문제는 삼각함수의 미적분학이 제대로 개발되어 있지 않다는 사실이었다. 1696년부터 1730년대까지 다양한 미적분학 교과서가 출판되었지만 삼각함수의 미적분학은 등장하지 않았다. 사인은 여전히 삼각형의 변의 길이를 통해 또는 원 위의 두 점을 잇는 현의 길이로 이해되었기 때문에, 삼각함수의 그래프도 일반적으로 필요한 것이라고 여겨지지 않았고, 따라서 그래프의 접선이나 아래의 넓이와 같은 미적분학의 문제 역시 고려되지 않았던 것이다. 그러나 분위기가 무르익고 있었고, 마침내 필요한 이론이 모습을 드러낸다.

 

그것은 오일러였다. 1739년 오일러는 조화진동자에 대한 연구가 담긴 논문 '새로운 형태의 진동에 대하여 (De novo genere oscillatonum)을 제출했는데 여기엔 조화진동자에 대한 미분방정식의 해가 시간을 변수로 하는 삼각함수로 표현될 수 있다는 것이 명확하게 등장한다. 아마 이 때 즈음에 주기함수로서의 삼각함수에 대한 생각을 얻었을 것이다. 이 논문에서는 특히 진동의 공명현상에 대한 수학적 발견이 담겼다. 이러한 연구와 상수계수미분방정식에 대한 연구는 그의 삼각함수론이 거의 완성단계에 있었음을 보여주었는데, 오늘날의 기초미적분학에 해당하는 그의 책 <무한해석개론 (Introductio in Analysin Infinitorum, 1748년 출판)>에는 마침내 주기성을 갖는 삼각함수의 개념이 등장했다. 그리고 삼각함수의 미적분학이 담겨 있는 그의 미적분학 교과서 <미분학 (Institutiones calculi differentialis)>이 1755년에 출판된다. 이렇게 하여 오일러에 의해 함수로서의 삼각함수, 주기함수로서의 삼각함수, 삼각함수의 미적분학 같은 주제가 표준적인 형태로 제시되었다. 이후에 오랫동안 사용된 오일러의 미적분학 교과서는 이런 새로운 삼각함수론을 널리 보급한다. 고등학교에서 가르치는 삼각함수와 삼각함수론은 이 시기에 이르러 동일한 형태로 완성되었던 것이다.

 

 

 

삼각함수와 소리

 

이제 처음에 약속했던 화면조정의 '삐이' 소리와 삼각함수의 관계에 대하여 생각해 볼 차례이다. 논리는 다음과 같다. 소리는 진동으로 인해 만들어진다. 사인함수와 코사인함수는 진동을 기술하는 언어이다. 따라서 사인함수와 코사인함수가 표현하는 진동에 의해 만들어지는 소리를 들을 수 있다? 생소하게 들리겠지만, 함수 f (t) = sin ( 1000 × 2πt )는 1000헤르츠(Hz) 의 소리를 낸다. 소리를 한번 들어보자. ≫ 소리 듣기

 

이것은 다름 아닌 화면조정에서 나오는 1000헤르츠(Hz)의 '삐이' 소리다. 사인은 다른 것이 하나도 섞여 있지 않은 가장 순수한 음이다. 인간의 가청주파수에 해당하는 20~20000헤르츠에 해당하는 숫자 f를 골라 사인함수 f (t) = sin ( f × 2πt )를 만들면 주파수가 f 헤르츠인 소리가 난다.

 

그렇다면 사인함수 2개를 더해 sin ( 350 × 2πt ) + sin ( 440 × 2πt )를 만들어 보면 어떨까? 들어보자. ≫ 소리 듣기 이는 다름 아니라 전화 수화기에서 들려오는 신호대기음이다. sin ( 440 × 2πt ) + sin ( 480 × 2πt )는 또 어떨까? ≫ 소리 듣기 이는 전화의 통화연결음이다. 마지막으로 sin ( 480 × 2πt ) + sin ( 620 × 2πt )에서는 '통화 중'임을 알리는 소리를 들을 수 있다. ≫ 소리 듣기

 

 

 

맺음말

 

별의 움직임을 이해하기 위해 탄생한 삼각비가 16세기 이후에 역학의 발전에 영향을 받고 마침내 18세기 중반에 오일러에 의해 삼각함수론으로 완성되었다. 주기함수로 새롭게 태어난 삼각함수는 주기적으로 반복되는 특징을 핵심으로 하는 진동의 언어였으며, 소리의 비밀을 이해하는 데 중요한 열쇠이기도 했다. 사인과 코사인에서는 소리가 난다는 사실을 이해한 사람은 이제 새로운 이야기를 들을 준비가 되었다. 다음 이야기는 푸리에와 그의 발견에 대한 것이다.

 

 

 

참고문헌

• VJ Katz, Calculus of the trigonometric functions, Hist. Math. 14(1987), 311-324. http://dx.doi.org/10.1016/0315-0860(87)90064-4

• 영문 위키피디아 (http://www.wikipedia.org)에서 "Metre" "Seconds pendulum" 항목

 

 

 

 

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