수학 매듭이론으로 보는 프리온 분자와 마음의 매듭

mathessay.jpg 다음은 <대한수학회 소식> 제48호(2013년 3월) 10~21쪽에 실린, 일본 수학자 카와우치 교수의 글입니다. 프리온 분자의 구조와 마음의 구조를 매듭이론으로 이해해보려는 색다른 접근법입니다. 전문적인 내용이라 난해하지만 수학 이외 분야의 연구자들한테 새로운 아이디어를 던져줄 수도 있다는 생각이 들어 이 글을 사이언스온 독자와 나눕니다. 다 이해하지 못하더라도 '매듭으로 보는 세상'을 향한 수학의 도전을 잠시 느끼고 경험할 수 있다면 그것도 좋겠습니다. 사이언스온에 옮겨싣도록 허락해주신 저자 카와우치 교수, 번역자 장연희 교수, 그리고 대한수학회(kms@kms.or.kr)에 감사드립니다. 장 교수는 사이언스온 독자를 위해 안내하는 글을 따로 써주셨습니다. 번역자가 요청한 몇 가지 글자 교정을 했으며 그밖에는 원래의 번역문 그대로 싣습니다.-사이언스온


math0.jpg » 환 모양의 디엔에이. 출처/ N. R. Cozzarelli

글을 안내하는 한마디: 번역자 장연희 교수

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K_J.jpg » 저자 카와우치 아키오 교수와 번역자 장연희 교수.매듭이론은 기하학, 특히 위상수학의 한 분야로, 주로 3차원 공간 안의 ‘끈’에 관해 연구하는 학문이다. 매듭이론 자체는 100년 이상의 역사를 가지고 있지만, 특히 1980년대에 존즈 다항식이라는 매듭의 불변량이 발견되면서부터 3차원다양체론이나 통계역학 등 다른 여러 분야와의 교류가 활발해지기 시작했다.

최근에는 정수론과의 관계에 관한 연구도 주목을 받고 있고, 디엔에이(DNA)나 단백질의 구조에 관련한 응용에 대해서 연구하는 학자들도 많아지고 있다. 이러한 배경은 물론, 매듭이론에서 다루는 대상이 일상생활과도 관련이 있고 많은 배경지식이 없어도 비교적 이해하기 쉬운 ‘끈’이라는 점도 있어서인지, (적어도 일본에서는) 중고등학생들이나 일반 시민들 중에서도 매듭이론에 흥미를 가지는 사람들이 늘고 있기도 하고, 비전문가를 위한 매듭이론 강좌에 대한 정보도 어렵지 않게 접할 수 있다.

이 원고는 오사카대학에서 열린 2009년 일본수학회 추기종합분과회의 한 코너인 시민강연회에서 카와우치 아키오 교수가 강연하고 그 내용을 정리해 일본수학회소식지 <수학통신>에 실었던 글을 번역자가 한국어로 옮긴 것으로, 매듭이론에 관한 간단한 설명과 함께, 매듭을 사용해 프리온 단백분자와 마음의 모델을 구성하는 방법을 제안, 설명하고 있다.

특히 3절에서는, 한 사람의 마음의 상태를 3차원 공간 안의 매듭으로, 마음의 상태의 변화를 4차원 시공간 안의 매듭의 궤적(즉 곡면)으로 나타내는 방법을 한 가지 소개하고 있는데, 매우 흥미롭고 새로운 시도이다. 이를 기초로, 필요에 따라서는 마음이나 인격의 요소를 좀 더 정확히 반영하는 더욱 복잡한 모델을 구성해 볼 수도 있을 것이고, 또는 수치만으로 모델화하기 힘든 어떤 다른 대상에 대해 매듭을 이용한 모델을 만들어 보는 것도 가능하지 않을까.

어쩌면 수학이나 매듭이론을 전공하지 않는 사람들로부터 더욱 기발하고 색다른 관점이나 아이디어가 나올 수도 있지 않을까 하는 생각도 든다. 그 첫걸음으로, 이 글을 좀 더 많은 독자들이 접하고, 매듭이론이라는 수학의 한 분야 혹은 수학 전체를 좀 더 가깝게 느끼는 사람이 늘었으면 하는 바람을 전하고 싶다. 

[장연희]

KMS.jpg <대한수학회 소식>의 편집주:

Akio Kawauchi 교수는 일본 오사카시립대학교 수학과 교수이며, 오사카시립대학교 수학연구소 OCAMI(Osaka City Univ. Advanced Mathematical Institute)의 소장이다. 매듭이론 분야의 대표적 수학자인 그가 일본수학회 소식지인 <수학통신(數學通信)>에 기고한 일본어 원문을, 일본 나라여자대학교 장연희 교수에게 번역을 의뢰하여 본지에 소개한다.

원문: <수학통신> vol.14 (4) (2009), pp.26-45.


번역문: <대한수학회소식> 제148호 (2013.03), 10-21쪽.



매듭이론의 과학에의 응용

-프리온 분자모델과 마음의 모델을 중심으로


저자: 카와우치 아키오 일본 오사카시립대 수학과 교수

번역자: 장연희 일본 나라여자대학교 수학과 교수



math1.jpg mathessay.jpg듭이론이란 학문이 있다는 것을 1971년에 테라사카 교수님의 기하학 강의에서 처음 배웠을 때부터, 필자는 매듭에 흥미를 가지고 연구를 해왔다. 테라사카 교수님은 실제로 끈을 사용해 매듭을 만들어서 수업을 하셨는데, 그런 인상 덕분에 매듭이론이 수학뿐만이 아닌 다른 요소들도 포함하고 있다고 느끼고, 매듭의 수학에 관한 연구 외에도 여러 학문과의 관계에 관해서도 흥미를 갖고 탐구해 왔다.


이 글의 내용 구성은 우선 매듭, 고리, 공간그래프의 수학과 과학에 대해, 구체적인 예에 기초해 설명하기로 한다. 그 다음에 매듭이론의 과학에의 응용의 예로 프리온 단백분자모델의 매듭이론과 ‘마음’의 모델의 매듭이론 ―마음의 상태를 그림으로 표시하는 시도― 에 대해 해설하겠다.



1. 매듭, 고리, 공간 그래프의 수학과

그 과학적 의미를 생각하기

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math2.jpg 매듭이란, 3차원 공간 안의 한 줄의 끈의 상태를 말한다 (그림 1.1). 수학에서는 매듭을 양 끝이 연결된 끈으로 생각한다 (그림 1.2). 고리란, 몇 개의 양 끝이 연결된 매듭의 모임이다 (그림 1.3). 또, 공간그래프란, 3차원 공간 안의 그래프로, 고립된 꼭짓점(차수 0의 꼭짓점)과 하나의 변에만 연결된 꼭짓점(차수 1의 꼭짓점)을 가지지 않는 것을 말한다 (그림 1.4).


수학에 있어서 매듭이론이란 매듭, 고리, 또는 공간그래프의, 대상으로서는 같지만 배치가 다른 경우 그 차이를 수학을 사용해 연구하는 학문이다.[1] 양 끝이 있는 끈의 매듭, 양 끝이 있는 끈을 포함하는 고리, 또는 차수 1의 꼭짓점을 갖는 공간그래프를 생각하는 경우도 있는데, 그 때는 그것들이 어떤 3차원 폐영역에 들어 있고, 또한 양 끝이 모두 그 영역의 경계상에 있다고 생각한다면, 이 또한 매듭이론으로서 의미를 갖는다 (그림 1.5).[2] 이와 같은 3차원 폐영역과 양 끝을 갖는 매듭, 고리 또는 차수 1의 꼭짓점을 갖는 공간그래프의 쌍은 탱글이라 불리며, 매듭이론의 연구에 있어서 유용한 개념이다. 역사적으로 매듭이론은 토폴로지(위상기하학)의 한 분야로 여겨져 왔는데, 그 이유로는 2개의 주어진 매듭, 고리 또는 공간그래프가 같다고 하는 조건이 연속적인 일대일대응(위상동형사상)이라는 토폴로지의 용어로 주어지는 점이 크다. 여기서는, 다음의 정의에 따라서 이야기를 계속하기로 한다.


정의: 2개의 주어진 매듭(또는 고리, 공간그래프)이 같은(동형인) 매듭이란, 그 둘을 (늘이고 줄이거나 변형가능한 끈으로 보고) 실뜨기를 하는 요령으로 같은 모양으로 변형할 수 있을 때를 말한다. 다시 말하면, 그 둘을 (늘이고 줄이거나 변형가능한 끈으로 보고) 유한번의 라이데마이스터 이동(그림 1.6)에 의해 변형할 수 있을 때를 말한다.

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수학의 연구로서 매듭이론의 주요 목적은 다음과 같다.

(1) 어떤 매듭, 고리가 있는지를 연구해, 그들을 중복 없이 열거하는 것

(2) 2개의 주어진 매듭, 고리가 같은(동형인)지 어떤지를 판정하는 것

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‘중복 없이 열거하기’란, 예를 들면 그림 1.7과 같은 표를 작성하는 것이다. 그림 1.8의 왼쪽 그림의 매듭은 오른쪽 그림의 매듭과 동형인 자명한 매듭이다. 만약 이 사실을 미리 알고 있지 않다면, 어떻게 이 매듭이 자명한 매듭임을 알 수 있을까? 이 물음에 대해 생각해 보면, 주어진 매듭이 자명한 매듭인지 어떤지를 판정하는 것만으로도 매우 어려운 문제라는 것을 깨달을 것이다. 같은 매듭이라면 같은 값을 갖는, 계산 가능한 위상 불변량의 개발이라는, 수학에 의한 고찰이 필요한 이유가 여기에 있다.


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매듭이 문화인류학과도 관계가 있다는 예로, 땋음의 특별한 경우에 해당하는 세줄땋기를 생각해 보자.


예: 세줄땋기 (죠몬토기에서도 나타난다) 그림 1.9는 죠몬시대의 토기에서 탁본을 뜬 것을 복사한 것인데, 세줄땋기가 확실하게 보인다. 세줄땋기의 수법에 의해, 짦은 끈으로부터 길고 튼튼한 끈을 만들 수 있는데, 적어도 죠몬시대에는 그런 기술이 알려져 있었다는 것을 이 죠몬토기로부터 알 수 있다. 또한, 이 세줄땋기를 그림 1.10과 같이 연결하면, 예로부터 선물의 장식으로 사용되는‘미즈비키’의 매듭을 얻는다. 이것은 예로부터 일본에는 매듭의 문화가 있었다는 증거라고 생각할 수 있다. 이 이야기의 어디가 수학인가 하면, 그림 1.10에 로 표시한 O(동그라미) 부분과 같은 동형을 찾아내거나, 그것을 증명하거나 (또는 동형이 아닌 것을 보이거나) 하는 것이 매듭의 수학이다. 실제로 이 동형은 그림 1.11과 같이 (양 끝 부분의 영역을 움직이지 않고) 변형하여 보일 수 있다.


그럼, 과학에 있어서의 매듭이란 무엇인가에 관해서 생각해 보자. 수학에서는 끈이란 선을 말했지만, 과학에 있어서는 끈으로 볼 수 있는 대상이 끈이라 할 수 있을 것이다. 예를 들면, 그림 1.12의 체인은 고리라고 생각할 수도 있고, 또 한 줄의 끈이라고 생각할 수도 있다. 과학에 대한 이해가 깊어지면 끈으로 볼 수 있는 대상도 더욱 많아진다. 점의 시간에 대한 궤적을 생각하면 선이 되고, 또 선의 시간에 대한 궤적을 생각하면 면이 되므로, 과학에 있어서의 매듭의 연구 대상은 3차원 공간(3차원으로 본 우주) 안의 ‘끈’과 4차원 공간(시공간) 안의 ‘곡면’이라 할 수 있고, 과학에 있어서 매듭의 수학의 역할로서 다음의 2가지 점을 들 수 있다.


(1) 각각의 과학에 있어서 주어진 조건 하에, 어떤 식으로 얽히는 것이 가능한가를 연구해, 중복 없이 열거하는 것

(2)  2개의 끈(또는 곡면)이 얽힌 채로 주어졌을 때, 그 둘이 같은지 다른지를 판정하는 것


과학에 있어서의 끈(매듭, 고리, 공간그래프)의 예를 보기로 하자.


예: 양-박스터 방정식

그림 1.13은, 평면상을 충돌 없이 움직인 3개의 입자의 시간에 의한 변화의 궤적 사이의 등식, 양-박스터 방정식(행렬의 방정식으로 표현된다)을 나타내는데, 그 해로부터 존스 다항식 등의 매듭, 고리, 또는 공간그래프에 대한 위상 불변량이 얻어지는 것이 알려져 있다.[5]


예: DNA 매듭

DNA(데옥시리보 핵산)를 한 줄의 끈이라 보면, 인간의 DNA는 양 끝이 있는 긴 끈이다. 바이러스나 박테리아의 경우에는 그림 1.14와 같이 양 끝이 연결된 끈이 되는 경우도 있다.

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예: 끈 모양의 바이러스

그림 1.15의 에볼라 출혈열 바이러스는 끈 모양의 RNA(리보 핵산) 바이러스로 알려져 있다. 에볼라 출혈열은 사망률이 높은 질병이다.


math101.jpg 예: 분자의 입체 구조

원자를 점으로 나타내고, 원자의 결합을 선으로 나타내면, 분자는 분자그래프라 불리는 매듭, 고리나 공간그래프로 볼 수 있게 된다 (그림 1.16). 호프 고리(그림 1.4)의 분자 H34C66O2는 1960년에 처음 합성된 연결되어 있지 않고 분리할 수도 없는 분자로, 카테난이라 불린다.[6] 이는 3차원 공간 안에서 비로소 의미를 갖는 분자이다. 최근에 전자현미경 등의 과학기술의 발전에 의해 매듭이론의 연구 대상으로서 흥미로운 분자가 잇달아 합성되었다. 트레포일 매듭(그림 1.2)의 분자도 합성되었고,[7] 보로미안환(그림 1.3)의 분자도 합성되었다.[8] 봉 모양의 분자가 환 모양의 분자에 그림 1.17과 같이 박혀서 양 끝이 고정되어 빠질 수 없게 된 로탁산이라 불리는 흥미로운 분자도 있다 (원의 숫자가 2개 이상일 때는 폴리로탁산이라 부른다).[9] 많은 수의 폴리로탁산이 배치된 상태에서 환 모양의 분자를 연결하여 새로운 분자가 구성되는 구조인 로탁산 네트워크나 보다 일반적인 분자기계는 매듭이론의 지식을 활용하는 것이 기대되는 합성과학의 연구분야라 생각된다.[10] 분자그래프의 얽힘이 다른 것을 명확히 구별하는 것의 중요성으로 혈액형, 약의 효과, 단백질의 아미노산 배열 등이 잘 알려져 있다. 예를 들면, 아미노산에는 서로 거울상의 관계에 있는 두 종류가 있는데, 그 중 한 종류로부터 펩티드 결합에 의해 얻어지는 끈 모양의 분자가 단백분자라는 것이다. 수학에 있어서의 공간그래프의 카이럴리티 문제, 즉 주어진 공간그래프와 그 거울상이 동형인지 아닌지를 판정하는 문제는, 화학에 있어서도 중요한 문제다 (그림 1.18).


예: 우주의 대규모 구조

토폴로지는 거리와는 관계없는 개념이므로, 미크로의 세계와 마크로의 세계에서 유사성이 있어도 이상할 것이 없다. 우주의 대규모 구조에 대해서도 최근에 알려졌다. 은하를 점이라 하고 3차원 우주 안에 배치해 보면 흥미로운 것이 보인다. 은하 전체는 은하단을 꼭짓점으로 하는 그물코 형태의 공간그래프를 형성하고 있으며, 또한 초은하단은 필라멘트 모양의 벽을 구성하고 있다 (그림 1.19).[11]


지금까지 서술한 과학으로서의 끈의 예가 보여주고 있는 것은

삼라만상의 기본에는 매듭이 있다!

라는 생각이다. 과학에 있어서 매듭이론이란, 기본이 되는 수학의 매듭이론 위에 서서 다음의 질문에 대답하는 것이라 할 수 있다.


질문: 3차원 우주 안의 끈으로 볼 수 있는 것(또는 시공간 안의 곡면)에 대해, 어떤 식의 얽힘에 대해 수학적인 이론 전개가 가능한가?


이 질문에 관한 구체적인 예로, 2절에서는 프리온 분자 모델에 대해서, 3절에서는 ‘마음’의 모델에 대해서, 이론 전개를 생각해 보기로 한다. 매듭이론이 여러 방면으로 적용될 수 있는 가능성을 독자들이 느낄 수 있다면 좋겠다.



2. 프리온 단백분자 모델의 매듭이론

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단백분자는 아미노산 배열로 구성된 끈이라 생각할 수 있다. 프리온의 이상에 의한 질병, 프리온병은 소의 경우에는 광우병, 염소의 경우에는 스크레이피, 인간의 경우에는 크로이츠펠트-야콥병 등으로 불리는데, 모든 포유류에 대해 비슷한 질병이라고 알려져 있다. 프리온병을 일으키는 원인은 알려져 있지 않지만, 1997년에 노벨 의학-생리학상을 수상한 스탠리 B. 프리즈너 이론에서는, 프리온 단백분자의 입체구조가 일으키는 질병이라고 말한다. 알려져 있는 프리온 단백분자의 성질을 여기에 열거한다.[12]


프리온 단백분자의 성질:

  1. 전구적 프리온 단백분자(그림 2.1)는, N말단이 없어져서 성숙형(정상형) 프리온 PrPC  또는 이상형 프리온 PrPSC로 변한다.
  2. 성숙형 프리온 PrPC과 이상형 프리온 PrPSC으로부터 2개의 이상형 프리온 PrPSC이 생성된다.
  3. 성숙형 프리온 PrPC과 이상형 프리온 PrPSC의 1차 구조는 같고, 그 주된 차이는 입체구조에 있다.
  4. 성숙형 프리온 PrPC의 α-헬릭스는, 이상형 프리온 PrPSC에서는 β-시트로 변해 있다.
  5. 한 군데 S-S 결합부가 있다.

전구적 프리온 단백분자는, 전체가 우물 정자 모양으로 고정되고 양 끝도 고정되어 있지만, 성숙형 프리온 PrPC과 이상형 프리온 PrPSC에서는 그림 2.1의 위쪽(N말단)이 제거되어, 특히 이상형 프리온 PrPSC에서는 흩어진 상태가 된다. 성숙형 프리온 PrPC에서도 이상형 프리온 PrPSC에서도 그렇지만, 아래쪽(C말단)은 세포막에 닻을 내린 형태로 연결돼 있다. 프리온에 관한 매듭이론의 문제로, 다음은 흥미로운 문제라 할 수 있겠다.[13]

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문제: 프리온 단백분자는 얽히기 쉬운가?


프리온 단백분자의 모델로, 하나의 자명한 매듭인 루프(S-S루프)와 한 줄의 끈(GPI테일)로 구성되는 공간그래프로, 3차원 공간의 하반공간(검은색 부분)과 연결된 것(프리온 스트링)을 생각하자 (그림 2.2). 여기에 주목하는 이유는, 여기가 프리온 코어에 해당하는 부분이고, 감염가가 프리온 코어의 농도와 비례하는 등 프리온 코어에 문제가 있어 보이기 때문이다. 그림 2.3의 왼쪽 그림과 같은 몇 개의 프리온 스트링의 모임을 프리온 탱글이라 한다. 이것을 수학적으로 다루기 위해 그림 2.3의 오른쪽 그림과 같은 공간그래프(프리온 그래프)로 생각한다. 프리온 탱글의 얽힘의 의미를 확실히 하기 위해 다음의 개념을 준비한다.


math251.jpg 정의: 프리온 탱글 T가 프리온 탱글 T1T2분리합이란, T를 프리온 그래프라 생각했을 때, 평면에 의해 T1T2의 프리온 그래프로 나눠질 때를 말한다 (그림 2.4). 분리가능한 프리온 탱글이란 어떤 분리합과 동형인 프리온 탱글을 말하며, 분리불가능한 프리온 탱글이란 분리가능하지 않은 프리온 탱글을 말한다.


예를 들면, 그림 2.3의 왼쪽 그림의 프리온 탱글은 분리가능하다. 다음과 같은 분리불가능한 프리온 탱글의 존재는 필자의 결과로부터 알 수 있다.[14]


정리: 두 개의 임의의 (분리가능 또는 분리불가능한) 프리온 탱글 T1T2의 분리합이 주어졌을 때, T1T2에 동형인 것을 합병한 프리온 탱글 T1 U T2로, 분리불가능한 것이 무한개 존재한다.


특히,

- I형: T1또는 T2에 포함되는 GPI 테일끼리의 한 번의 교차교환

- II형: T1또는 T2에 포함되는 GPI 테일과 S-S 루프의 한 번의 교차교환

의 어느 쪽을 사용해서든 그것들을 구성할 수 있다 (그림 2.6).


프리온 그래프의 분류 문제는, 분류가 실행 가능해 보이는 매듭이론의 문제이다.



3. 마음의 모델의 매듭이론

- 마음의 상태를 그림으로 나타내보기

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마음을 매듭을 이용해 그림으로 나타내 보는 것도 좋지 않을까 하고 생각한 이유를 하나 들자면, 일상생활에서 성격, 인격이나 마음의 상태를 끈에 비유해 표현하는 경우가 많으므로, 이러한 경험상 매듭을 이용해 마음을 표현해도 모순이 생기기 어렵다는 점을 들 수 있다. 예를 들면, 순진한(곧은) 성격, 비뚤어진(꼬인) 성격, 마음의 실, 마음과 마음이 이어지다, 마음의 응어리가 풀리다, 사람들과 얽히다,…. 그 외에도, B. Stewart와 P. G. Tait이 1984년에 저술한 서적[16]에서 “The soul exists as a knotted vortex ring in the aether. (영혼은 에테르 안의 소용돌이의 매듭으로서 존재한다.)”라고 주장한 것도, 매듭을 이용해 마음을 표현해도 부자연스럽지 않음을 시사하고 있다.[17]


math31.jpg 매듭에 의한 마음의 모델의 기본적인 생각은, 마음(mind)을 (지금부터 정의하는) 매듭이라 하고, 그 매듭의 타입(즉, 동형인 것의 집합)을 인격(personality)이라 하는 것이다. 특히, 그 매듭이 자명한 매듭이라면 순진한 성격의 마음(untwisted mind), 자명하지 않으면 비뚤어진 성격의 마음 (twisted mind)이라 하자. 또, 그 매듭의 교차교환(그림 2.5)을 마음의 변화(mind-change), 인격이 변하게 되는 정도의 마음의 변화를 마음의 굴절(essential mind-change)이라 정의하자. 그림 3.1로부터 알 수 있듯이, 마음이 어떻게 변하느냐에 따라, 순진한 성격의 마음도, 비뚤어진 성격의 마음도 순진한 성격의 마음으로부터 생겨날 수 있다. 이런 임의성은 나날이 다소 충격을 받는 일이 있더라도 성격이 비뚤어지지 않지만, 무언가를 계기로 비뚤어지는 일도 있다는 점을 표현하는 데 있어서도 들어맞는다.


필자는 심리학 전문가는 아니지만, 에노모토-쿠와바라의 ‘인격심리학’이라는 방송대학 교재(2004)를 읽으며 심리학을 공부했다. 그에 따르면, 인격의 기본인자는 다음과 같이 정의되어 있다.[18]


인격의 기본인자

(1) 내향성 - 외향성

(2) 신경증적 경향

(3) 정신병적 경향


여기에서 세 번째 항목은 그 뜻이 애매한 점을 이유로 다음과 같은 인격의 5인자 모델(Five- Factor Model, Big Five)이 제안되었다.[19]


인격의 5인자 모델

(1) 내향성 - 외향성

(2) 신경증적 경향

(3.1) 경험에의 개방성

(3.2) 협조성

(3.3) 성실성


5인자 모델에 대해서는, 심리테스트가 구체적인 질문 형식으로 일반화되어 있으므로, 그 데이터를 이용해 마음의 모델을 구성하기로 한다.[20] 마음의 모델을 구성하는 데 있어서, 다음의 2가지 점을 해결해야 한다.

  1. 태어날 때의 마음의 상태를 어떻게 정의하는가. 다시 말하면, 부모님으로부터 물려받은 유전적 성질에 의해, 태어나는 시점에서 반드시 순진한 성격의 마음을 가지고 있다고만은 할 수 없다는 점.
  2. 마음의 변화를 일으키는 연령, 역사, 표준화할 수 없는 요인에 의한 수많은 여러 가지 원인이 있다는 점.

그럼, K라는 사람의 n세 때의 마음의 매듭 모델의 구성법을 소개하자. 우선 다음의 (스텝 I)~(스텝 V)에 따라, K에 관한 5인자 모델의 수치 데이터를 구한다. 여기서, 각각의 인자에 대해, -1은 부정적 성격, +1은 긍정적 성격이라는 점을 의미하고, K의 부모님에 관한 데이터는 긍정적 성격이라도 0으로 놓는다.


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정의: n세 때의 마음의 매듭 M(n;a, b)란, 그림 3.2a + 2b개의 교차점을 갖는 다이어그램이 나타내는 매듭을 말한다. 단, a, b

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에 의해 정의되는 정수이다. 이 때, a, bmath02.jpg을 만족한다.


math32.jpg 예를 들면 M(n; -1, -1)은 트레포일 매듭, M(n; -2, -1)은 8자형 매듭을 나타낸다. 다음 명제는 매듭이론의 표준적인 2교각 매듭의 분류정리로부터 바로 증명할 수 있다.[22]


명제:

  1. 마음의 매듭 M(n;a, b)가 순진한 성격의 마음의 매듭일 필요충분조건은, a = 0 또는 b = 0인 것이다.
  2. 비뚤어진 성격의 마음의 매듭 M(n;a, b)M(n;a, b)가 같은 인격을 갖기 위한 필요충분조건은 (a, b) = (c, d)인 것이다.


math33.jpg 이런 마음의 매듭 모델의 경우, 우리들의 마음의 편력은 태어날 때부터 사망할 때까지의 시공간에 끼워 넣어진 실린더 모양의 곡면이 된다 (그림 3.3). 이 실린더는 유한개의 자기교차점을 갖는데, 그것들은 마음의 변화가 일어나는 점(인격이 변할 때는 굴절점)을 나타내게 된다.


이런 마음의 매듭 모델을 이용하면, (n사람의) 마음의 고리을 생각하는 것도 가능해지며, 그 심적 관계를 그림으로 나타낼 수 있게 된다. 여기서는, 마음의 고리의 자기구제관계의 분류에 대해 설명하기로 한다. 마음의 매듭 성분 K와 마음의 고리 성분 L로 구성되는 고리 K L을 생각할 때, K L이 분리가능하다는 것은, 고리 K L의 임의의 다이어그램을 라이데마이스터 이동을 사용해 K L이 교차하지 않는 위치까지 변형할 수 있을 때를 말한다. 또한, K L이 자기구제가능하다는 것은, K의 몇 번의 마음의 변화에 의해 K L이 분리가능해지는 경우를 말한다. 문제를 단순화하기 위해 다음과 같은 동치관계를 도입하자.


정의: 마음의 고리 LL'′ 이 유사한 자기구제관계를 가진다는 것은, 다음을 만족하는 매듭 성분에 관한 일대일 대응 τ : LL'′가 존재하는 경우를 말한다. 즉, L의 임의의 매듭 성분 K와 그 외의 L의 성분으로 구성되는 임의의 부분 고리 S에 대해, 다음의 (1)과 (2)가 성립한다.

(1) KS의 분리가능성과 τ(K)와 τ(S)의 분리가능성이 일치한다.

(2) KS로부터의 자기구제 가능성과 τ(K)의 τ(S)로부터의 자기구제 가능성이 일치한다.


여기서, n사람의 마음의 고리의 자기구제관계란, 유사한 자기구제관계를 법으로 하는 사람의 마음의 고리를 말한다. 이렇게 정의하면, 다음의 문제가 자연스럽게 떠오를 것이다.


문제: n사람의 마음의 고리의 자기구제관계를 분류하여 그림으로 나타내시오.


분리가능한 n사람의 마음의 고리의 자기구제관계를 대표하는 고리는 정의에 의해 반드시 분리가능하므로, 이 문제를 생각할 때는 분리가능하지 않은 n사람의 마음의 고리의 자기구제관계만을 생각하면 된다. 분리가능하지 않은 2사람의 마음의 고리의 자기구제관계는 다음과 같다.


math34.jpg 명제: 분리가능하지 않은 2사람 K1, K2의 마음의 고리의 자기구제관계는, 그림 3.4의 (1), (2), (3)에 있는 3개의 고리로 대표된다. 여기서, (1)은 둘이 서로 자기구제 불가능한 경우, (2)는 둘이 서로 자기구제가능한 경우, (3)은 K1 K2로부터 자기구제가능하지만 K2K1으로부터 자기구제불가능한 경우를 나타낸다. 특히, (3)이 일어라는 경우에는, 반드시 K1은 비뚤어진 성격의 매듭이다.


3사람 이상의 마음의 고리의 자기구제관계의 분류는 매우 복잡해진다. 그 이유를 하나 들자면, 그림 1.3의 보로미안환과 같이 어떤 두 사람의 마음의 고리도 분리가능하지만, 전체로서는 분리가능하지 않은 마음의 고리가 존재하기 때문이다. 여기에서 분리가능하지 않은 세 사람의 마음의 고리의 자기구제관계(이른바 삼각관계)는 이런 1대2의 자기구제관계를 무시한다 하더라도 30종류로 분류되는 점을 말하고 마치기로 한다.[23]



4. 정리


1절에서는 삼라만상의 기본이 매듭에 있으며, 끈으로 볼 수 있는 것이 있으면 어디에서든 매듭이론을 전개할 수 있지 않을까 라는 필자의 의견을 설명해 보았다. 2절에서는 프리온 분자의 매듭이론적 모델을, 3절에서는 심리학의 ‘마음’의 매듭이론적 모델을 해설했다.[24]



[주]


[1] 매듭이론의 일반적인 내용에 대해서는, 졸저 ‘매듭이론강의’ (2007) 쿄리츠출판 (‘매듭 속의 수학’ 배용주 번역 (2009) 경문사), 또는 이 책에서 거론된 참고서를 참조.

[2] 실제 과학에 있어서, 양 끝이 있는 매듭, 고리나 차수 1의 꼭지점을 가지는 공간그래프의 고리가 의미를 가지는 경우가 있는데, 필자는 그런 경우에 대한 연구에 대해서도 흥미를 가지고 있다. 졸저, in: Knots and soft-matter physics, Topology of polymers and related topics in physics, mathematics and biology, 물생연구 92-1 (2009-4), 16-19에서는, 양 끝이 있는 매듭, 고리나 차수 1의 꼭짓점을 가지는 공간그래프를 매듭이론의 대상으로 하는 연구를 실시했다.

[3] 표의 가운데 쯤에 있는 3개의 매듭을 제외하고는, 모든 매듭의 교차점의 위아래를 구별하지 않고 다이어그램을 그렸다. 그 이유는, 그들은 교대매듭이라고 불리는 것으로, 교차점의 위아래를 한군데 정하고, 거기서부터 매듭을 따라 위아래를 교대로 정해 가면, 거울상을 무시했을 때 유일한 매듭이 복원되기 때문이다.

[4] 홋카이도 에니와시 발굴조사보고서 ‘홋카이도 에니와시 유칸보시 E8 유적 B지점’ (1992) 참조.

[5] L. H. Kauffman, Knots and Physics, World Scientific (2001) 와 주 1)의 졸저에서 거론된 참고서를 참조.

[6] E. J. Wasserman et al., J. Am. Chem. Soc. 82 (1960), 4433-4434를 참조.

[7] J. P. Sauvage et al., Angew. Chem. Int. Ed. Engl. 43 (2004), 4482를 참조.

[8] J. F. Stoddart et al., Science 304 (2004), 1308을 참조.

[9] A. Harada; J. Li; M. Kamachi, Nature 356 (1992), 325-327을 참조.

[10] 테즈카 등의 저서 ‘토폴로지 디자이닝 ? 새로운 기하학에서 시작되는 물질, 재료설계’ NTS (2009)를 참조.

[11] http://skyserver.sdss.org/edr/jp/astro/structures/structures.asp 등을 참조.

[12] K. Basler et al., Cell 46 (1986), 417-428, Z. Huang et al., Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 91 (1994), 7139-7143 등을 참조.

[13] 이상 프리온으로부터 아밀로이드 섬유라는 것이 형성된다. 전구 아밀로이드 베타 단백질의 단편의 축적으로 생기는 병인 알츠하이머에 대해서도, 그 단편으로부터 아밀로이드 섬유가 형성된다고 알려져 있다. 매듭이론의 관점에서 접근하는 방법으로, 단백분자의 모델을 구성하여 그것들이 어떻게 얽히는지를 연구하는 것을 생각할 수 있다.

[14] 첫 번째 결과는 더욱 일반적인 형태로 졸저, Osaka J. Math. 26 (1989), 743-758에서 보였다. 교차교환의 조건을 단 결과는 졸저, in: Knots 90, Walter de Gruyter (1992), 465-476에서 함축적으로 보여져 있다. 졸저, in: Topological Molecules, Proc. of Yamada Conference 2008 (출판예정)을 참조하기 바란다. 또한, 1개의 프리온 스트링만으로는, 조건 없이는 전부 자명한 프리온 스트링에 동형이 된다. 한편, S-S루프가 GPI테일의 매듭에 대해서 로탁산의 스토퍼와 같이 작용하는 경우에는, 1개의 프리온 스트링으로도 자명하지 않은 프리온 스트링을 구성할 수 있다.

[15] 요시다 저, 2009년도 오사카시립대학 석사논문을 참조.

[16] R. Rucker, The fourth dimension, A guided tour of the higher universes, Hought on Mifflin Company, Boston (1984)를 참조. 이 절은 Kelvin(=W. Thomson)의 소용돌이 원자설에 기초한다. P. G. Tait는 매듭이론 연구의 선조들 중의 하나이다.

[17] 이 강연의 다음날, 야마시타 야스시 교수(나라여자대학)로부터 어떤 책의 존재에 대해 들었다. 그것은 프랑스의 정신분석의이며 사상가인 잭 라칸이 곡면(뫼비우스의 띠, 토러스, 크로스캡, 클라인 병) 및 보로미안환을 심적 구조의 대상으로 다루고 있는 점을 기록한 잭 그라논-라퐁의 저서 ‘라칸의 토폴로지, 정신분석 공간의 위상구조’ (나카지마-요시나가 번역), 백양사 (1991) 였다. 내용은 이 보고서와 일치하지 않지만, 이 책으로부터 심리구조와 곡면의 토폴로지가 잘 맞는다는 점 및 이 보고서에서도 의미를 갖는 보로미안환이 라칸의 심리구조로서도 의미를 갖는다는 점을 알 수 있어, 마음을 매듭으로 표현하는 연구를 더욱 심화하는 데 참고가 될 것이다.

[18] H. J. Eysenck, The biological basis of personality, Transaction Publishers (2006)를 참조.

[19] P. T. Costa and R. R. McCrae, Journal of Personality and Social Psychology, 55 (1988), 258-265를 참조.

[20] 이 보고서에서는 5인자 모델로부터 구성할 수 있는 가장 단순한 모델을 소개하고 있다. 졸저, in: Proc. Knot Theory for Scientific Objects, OCAMI Studies, I (2007), 129-141 에 있어서 구성한 것과는 약간 다르다.

[21] <그림 3.2>에 있어서, 2b 대신에 b를 넣으면 a, b의 값에 따라 매듭 또는 2성분 고리가 된다. 이 때에는 ‘마음의 변화’를 교차교환에 의해 정의할 수는 없지만, 매듭이론의 스플라이스라는 개념(예를 들면 주1)에서 든 졸저를 참조)을 이용하면 비슷한 고찰이 가능하다.

[22] 주 [1]에서 든 졸저를 참조.

[23] 명제의 증명을 포함해 주 20)에서 든 졸저를 참조.

[24] ‘마음’을 국가로 해석하면, 국가와 국가의 관계도 고리로 나타낼 수 있을 것이다. 올림픽 마크를 상기해 보라.


[고침] 여러 군데에서 특수문자로 입력된 숫자나 기호들이 빠지는 잘못이 있었기에, 뒤늦게 바로 잡았습니다. 독자님들과 저자, 번역자께 죄송한 마음 전합니다. 2013년 5월31일 오후 1시45분.

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